UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.3.1e
Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
(e) é a elipse .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, , sobre a curva fechada , usando o Teorema de Green.
O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:
Onde é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, e são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.
Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando as nossas componentes e . Assim, derivando em relação a , usando a regra do produto, temos:
Repare que os termos que contém apenas vão funcionar como constantes na derivação em relação a e, portanto, sua derivada é nula:
Da mesma forma, derivando em relação a , temos:
Usando a regra do produto:
Passo 3
O enunciado nos disse que a nossa curva é elipse , e a partir dela nós teríamos nossos limites de integração. Mas repare que o nosso integrando vai ser nulo, porque:
Então, independente da região , nosso resultado também é nulo.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉