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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.6a

Considere P x ,   y = - y x 2 + y 2 - 1 e Q x ,   y = x x 2 + y 2 - 1 , definidas para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) e seja D a região descrita por 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ R . Mostre que:

(a) ∮ ∂ D P d x + Q d y = 2 π

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a integral de linha, ∮ D P d x + Q d y é igual a 2 π , sabendo que D é a região descrita por 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ R .

Pra isso, precisamos lembrar que a integral de linha pode ser definida pela equação:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ∙ r → ' ( t ) d t

Onde r → ' ( t ) é a derivada da parametrização da curva γ e F x t ,   y t é a nossa função vetorial aplicada na parametrização x ( t ) , y ( t ) .

Nesse caso, vamos calcular a integral de linha sobre uma circunferência de raio R . Então, vamos definir uma parametrização adequada, com seus limites de integração e substituir tudo na fórmula da integral de linha.

Vamos lá!

Passo 2

Para a circunferência que o enunciado nos deu como região de integração, podemos usar a parametrização:

r → t = ( cos ⁡ t , sin ⁡ t )

0 ≤ t ≤ 2 π

Derivando esse vetor, teremos:

r → ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t

Além disso, nossa função vetorial é definida por ( P ,   Q ) , onde P x ,   y = - y x 2 + y 2 e Q x ,   y = x x 2 + y 2 . Substituindo x = cos ⁡ t e y = sin �� t , como definido na parametrização, temos:

F x t ,   y t = - sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t , cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , vamos ter:

F x t ,   y t = ( - sin ⁡ t , cos ⁡ t )

Passo 3

Agora é só montar nossa integral:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ∙ r → ' ( t ) d t

= ∫ 0 2 π - sin ⁡ t , cos ⁡ t ∙ - sin ⁡ t , cos ⁡ t   d t

Fazendo o produto escalar entre os vetores:

∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Usando novamente a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 :

∫ 0 2 π 1 d t

Integrando em relação a t :

t 0 2 π

E aplicando os limites de integração:

= 2 π - 0

= 2 π

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 π

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