Calcule a derivada da função

f x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ t e t ² d t

Passo 1

Sabendo que a função c o s ⁡ ( t ) é contínua, podemos dividir essa integral em duas partes:

∫ sen ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ t e t ² d t = ∫ sen ⁡ x 0 cos ⁡ t e t ² d t + ∫ 0 cos ⁡ x cos ⁡ t e t ² d t

Usando a propriedade das integrais abaixo

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

a integral que dividimos fica assim:

∫ sen ⁡ x 0 cos ⁡ t e t ² d t + ∫ 0 cos ⁡ x cos ⁡ t e t ² d t = - ∫ 0 sen ⁡ x cos ⁡ t e t ² d t + ∫ 0 cos ⁡ x cos ⁡ t e t ² d t

Passo 2

Agora vamos chamar a integral

∫ 0 x cos ⁡ t e t ² d t

De g ( x ) , ou seja

g x = ∫ 0 x cos ⁡ t e t ² d t

Assim, teremos o seguinte:

- ∫ 0 sen ⁡ x cos ⁡ t e t ² d t + ∫ 0 cos ⁡ x cos ⁡ t e t ² d t = - f 1 x + f 2 x

sendo

f 1 x = g ( sen ⁡ x )

f 2 x = g ( cos ⁡ x )

Passo 3

Agora vamos fazer o que realmente importa nessa questão: derivar. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 sabemos que

∫ 0 x cos ⁡ x e x ² d x ' = cos ⁡ x e x ²

Logo

f 1 ' x = g ' ( sen ⁡ x ) cos ⁡ x = cos ⁡ sen ⁡ x e sen ⁡ ² x cos ⁡ x

f 2 ' x = g ' ( cos ⁡ x ) ( - sen ⁡ x ) = - cos ⁡ cos ⁡ x e cos ⁡ ² x sen ⁡ x

Finalmente

f ' x = - f 1 ' x + f 2 ' x

f ' x = - cos ⁡ sen ⁡ x e sen ⁡ ² x cos ⁡ x - cos ⁡ cos ⁡ x e cos ⁡ ² x sen ⁡ x

Passo 4

Resposta

f ' x = - cos ⁡ sen ⁡ x e sen ⁡ ² x cos ⁡ x - cos ⁡ cos ⁡ x e cos ⁡ ² x sen ⁡ x

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