Considere a função
definida em .
Seja
Calcule .
Passo 1
Bom, ele quer a derivada de , sendo que está definida como uma integral em . Até aí, tudo igual ao que já vimos. O que está no numerador é uma função de , que ele chamou de . Até aí tranquilo também: já sabemos que teremos que usar a regra da cadeia.
Só que se você olhar para a que ele definiu, você pode ficar assustado(a) porque ela também tem uma integral. Mas calminha aí! Ao invés de nos preocuparmos com a , vamos resolver tudo em função dela e depois substituir. Aí você vai ver que não tem nenhum bicho de sete cabeças aí!
Passo 2
A primeira coisa que temos que fazer quando queremos a derivada de nesses casos é substituir a variável pela função de no limite da integração e depois utilizar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela derivada dessa função.
Nesse caso, vamos, incialmente, esquecer que ele definiu e escrever no lugar de :
A princípio, não sabemos quem é , então simplesmente indicamos a sua derivada como :
Passo 3
Agora podemos nos preocupar com . Observe que também é definida como uma integral que tem variável . A princípio, precisaríamos calcular o valor de para substituir na expressão de . Mas como ele pede , veremos que isso não será necessário.
Para achar basta utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos substituir na expressão que encontramos para :
Passo 4
Bom, ele quer o valor de . Não é necessário, de fato, resolver a integral para calcular . Apenas entender que, como ele quer especificamente no ponto só precisávamos do valor de também em .
Ok, mas eu ainda preciso do valor de . Como calculo isso? Assim como em outros casos que já vimos, para achar basta substituir o no limite de integração por :
Limites de integração iguais? Rapaz, isso vai dar . Com isso, podemos substituir por na expressão e, finalmente, calcular .
Confessa aí: maneirinha essa questão, hein?