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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

  1. Define a função g x = ∫ 0 x f t d t onde f(x) é uma função definida por partes.

f x = 0 ,     x < 0 x ,     0 ≤ x ≤ 1 2 - x ,     1 < x ≤ 2 0 ,     x > 2

  1. Determine onde g ' ( x ) é diferenciável.

Passo 1

Fala galera, 😁😁. Nessa questão vamos lidar com o conceito de diferenciabilidade.

Dizemos que uma função f é derivável (ou diferenciável) em um ponto x 0 se ela satisfaz a seguinte condição

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

for um limite que existe.

Logo, para um intervalo ( a ,   b ) qualquer f será derivável nele, se for derivável em todos os seus pontos.

Como g ( x ) está definida em partes, g ' x também está então vamos analisar separadamente cada um dos intervalos que aparecem.

Passo 2

Vamos agora observar o primeiro intervalo x < 0 .

Nesse conjunto de pontos g x = ∫ 0 x 0 d t = 0 . Logo, g ' x = 0

Assim,

g ' ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ g ' x - g ' x 0 x - x 0 = lim x → x 0 ⁡ 0 - 0 x - x 0 = 0

Logo essa função é diferenciável em todos os pontos desse intervalo.

Passo 3

Para 0 ≤ x ≤ 1

Nesse intervalo g x = ∫ 0 x t d t = x 2 2 . E, g ' x = x

Assim,

g ' ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ g ' x - g ' x 0 x - x 0

= lim x → x 0 ⁡ x - x 0 x - x 0

= lim x → x 0 ⁡ 1 = 1

Logo, g ' ( x ) também é diferenciável nesse intervalo.

Passo 4

Para 1 < x ≤ 2

Para esse intervalo, g x = ∫ 0 x ( 2 - t ) d t = 2 x - x 2 2 . Portanto, g ' x = 2 - x

E,

g ' ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ g ' x - g ' x 0 x - x 0

= lim x → x 0 ⁡ 2 - x - 2 - x 0 x - x 0

= lim x → x 0 ⁡ - x + x 0 x - x 0

= lim x → x 0 ⁡ - ( x - x 0 ) x - x 0

= lim x → x 0 ⁡ - 1 = - 1

Logo, g também é diferenciável nesse intervalo.

Passo 5

Por fim, para x > 2

g x = ∫ 0 x 0 d t = 0 . E, g ' x = 0 , valor para o qual já mostramos que g ' ( x ) é diferenciável.

Portanto podemos concluir que g ' ( x ) é diferenciável em todos os seus pontos.

Ufaa!! Que questão trabalhosa. Por hoje é isso pessoal, até a próxima😉

Resposta

c) g ' x diferenciável ∀ x ∈ R

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