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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

UFMG – Cálculo 1 – P5 – 2020.1

Sejam a e b números reais positivos tais que:

∫ 0 a e -   x 2 8 d x = b e - a 2 8

O valor de

e a 2 8 24 - ∫ 0 a 5 x 2 + 6 x + 3 e - x 2 8 d x

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Essa questão dá um medinho, né? Mas vamos primeiro fazer uma parada! Bora aplicar a distributiva dentro da integral e vamos ver no que isso vai dar e depois vamos seguir o baile.

∫ 0 a 5 x 2 + 6 x + 3 e - x 2 8 d x

∫ 0 a 5 x 2 e - x 2 8 d x + ∫ 0 a 6 x e - x 2 8 d x + ∫ 0 a 3 e - x 2 8 d x

Passo 2

Vamos resolver agora cada uma das integrias!!!

∫ 0 a 3 e - x 2 8 d x = 3 ∫ 0 a e - x 2 8 d x

O enunciado já nos disse quanto vale essa integral, logo:

3 ∫ 0 a e - x 2 8 d x = 3 b e - a 2 8

Passo 3

Próxima integral!!!

∫ 0 a 6 x e - x 2 8 d x = 6 ∫ 0 a x e - x 2 8 d x

Aqui é onde a gente pode entrar em colapso mental hahaha mas vou te mostrar que TUDO em cálculo é simplesmente fazer com calma e tranquilidade que sai!!

Vamos aplicar uma substituição aqui!!!

u = e - x 2 8

d u = - 2 x 8 e - x 2 8 d x

d u = - x 4 u   d x

x d x = - 4 d u u

Logo, nossa integral pode ser reescrita como:

∫ 0 a x e - x 2 8 d x = ∫ - 4 d u u u

- 4 ∫ d u = - 4 u

Mas quem é u ? ?

u = e - x 2 8

E não podemos esquecer que agora que voltaremos aos valores de x , temos que voltar aos intervalos também dados no enunciado!!

6 ∫ 0 a x e - x 2 8 d x = - 6 × 4 e - x 2 8 0 a

- 24 e - a 2 8 - 1

Agora vamos pra última integral!!

Passo 4

∫ 0 a 5 x 2 e -   x 2 8 d x

Vamos agorar pensar analiticamente em como resolver essa integral aí!!!

Vamos chamar de

u = e - x 2 8

d v = x 2

Porque eu tô fazendo isso? Porque eu vou usar a integração por partes aqui!!

d u = - x 4 e - x 2 8 d x

v = ∫ 0 a x 2 = a 3 3

Por integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Logo:

u v = e - x 2 8 a 3 3

v d u = a 3 3 × - x 4 e - x 2 8 d x

v d u = - a 3 12 e - x 2 8   d x

Portanto, se fizermos:

∫ v d u = ∫ 0 a - a 3 12 e - x 2 8   d x

- a 3 12 ∫ 0 a e - x 2 8   d x

A gente sabe quanto vale essa integral porque o enunciado já nos deu:

- a 3 12 ∫ 0 a e - x 2 8   d x = - a 3 12 b e - a 2 8

Passo 5

Se a gente agora somar todas as integrais que encontramos vamos ter:

∫ 0 a 5 x 2 e - x 2 8 d x + ∫ 0 a 6 x e - x 2 8 d x + ∫ 0 a 3 e - x 2 8 d x = - a 3 12 b e - a 2 8 - 24 e - a 2 8 - 1 + 3 b e - a 2 8

Abrindo, temos:

- a 3 12 b e - a 2 8 - 24 e - a 2 8 + 24 + 3 b e - a 2 8

Só que isso tudo tava dentro de um grande parênteses, se lembra?

e a 2 8 24 - ∫ 0 a 5 x 2 + 6 x + 3 e - x 2 8 d x

e a 2 8 24 + a 3 12 b e - a 2 8 + 24 e - a 2 8 - 24 - 3 b e - a 2 8

Aplicando a distributiva:

a 3 12 b e - a 2 8 + a 2 8 + 24 e - a 2 8 + a 2 8 - 3 b e - a 2 8 + a 2 8

a 3 12 b + 24 - 3 b

Resposta

a 3 12 b + 24 - 3 b

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