UFRJ. Cálculo 1. Prova P2. 2022.1. Questão 3a.
3.a) Seja uma função contínua em tal que
e
Determine o valor de
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Essa questão é muito interessante! Temos que é uma função contínua em todo o conjunto dos números reais . Foi dado que
E também que
Apenas com essas informações, temos que saber qual é a integral de entre e .
E aí, sabe o que podemos fazer?? 🤔🤔
O segredo aqui é lembrar do teorema fundamental do cálculo! Não precisamos encontrar a expressão da função , mas temos que entender que a integral de uma função, sesulta em outra função.
Vamos chamar a integral de como , assim, pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Sacou? Bora pro problema! 😁
Passo 2
Vamos começar calculando a integral de entre e que resulta em , ou seja
Integramos normalmente e ao integrar fazemos .
Aplicando os limites de integração
Como essa integral é igual a , temos
Agora fazemos o mesmo para a integral de entre e que resulta em
Como a integral de é igual a , podemos aplicar os limites de integração direto
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora o segredo é que obtemos duas equações
Pensando na integral que temos que calcular
Pelo teorema, nosso resultado deve ser
Então com essas equações, temos que dar um jeito de isolar para obter o resultado!
Isolando na segunda equação
Substituindo na primeira equação, temos
Colocando em evidência e passando para o lado direito...
Isolando , temos
Portando se e se , logo
A integral que estávamos procurando resulta em . Legal né? 😁
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
