Calcule as integrais abaixo, utilizando para isso o Teorema Fundamental do Cálculo:

i)

∫ 0 π 3 tan ⁡ ( u ) d u

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ 0 π 3 tan ⁡ ( u ) d u

Mas antes, sempre é bom relembrar um pouquinho desse teorema.

Seja f x uma função contínua no intervalo a , b . Então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f .

Ou seja, primeiro devemos descobrir qual é a função primitiva para depois aplicarmos os limites!!

Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, sabemos que a primitiva de tan ⁡ ( u ) é dada por:

F u = ln ⁡ sec ⁡ u

Dessa forma, aplicando os limites, temos:

∫ 0 π 3 tan ⁡ ( u ) d u = F π 3 - F 0 ∴

∫ 0 π 3 tan ⁡ ( u ) d u = ln ⁡ sec ⁡ π 3 - ln ⁡ sec ⁡ 0 ∴

∫ 0 π 3 tan ⁡ ( u ) d u = ln ⁡ 1 cos ⁡ π 3 - ln ⁡ 1 cos ⁡ 0 ∴

∫ 0 π 3 tan ⁡ ( u ) d u = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 ∴

∫ 0 π 3 tan ⁡ ( u ) d u = ln ⁡ 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 π 3 tan ⁡ ( u ) d u = ln ⁡ 2

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