Seja ϕ   :   [ 0 ,   + ∞ ) → R uma função derivável e considere

F t = ∫ 0 ϕ 2 t sen ⁡ x x d x

( a ) Se ϕ 1 = π 2 e ϕ ' 1 = 1 2 , calcule F ' 1 ;

Passo 1

Pelo Teorema Fundamental, Temos o seguinte:

F t = ∫ 0 G t f ( x ) d x → F ' t = f G t G ' t

Faremos isso para esse caso, no mesmo esquema:

F t = ∫ 0 ϕ 2 t sen ⁡ x x d x → F ' t = sen ⁡ ϕ 2 t ϕ 2 t ϕ 2 t '

= sen ⁡ ϕ 2 t ϕ 2 t 2 ϕ t ϕ ' t

Passo 2

Bom, ele nos dá os valores de ϕ e ϕ ' quando t = 1 . No mesmo instante, podemos então calcular o F ' ( t ) :

F ' ( t ) = sen ⁡ ϕ 2 t ϕ 2 t 2 ϕ t ϕ ' t

F ' 1 = sen ⁡ ϕ 2 1 ϕ 2 1 2 ϕ 1 ϕ ' 1

= sen ⁡ π 2 2 π 2 2 2 π 2 1 2 = sen ⁡ π 2 π 2 π 2

= 2 π π 2 = 2 π

Resposta

F ' 1 = 2 π

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