UFRJ. Cálculo 1. Prova P2. 2022.1. Questão 3b.
3.b) Considere a função
E seja . Determine .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão nos deram uma função que é a resultante da integral
Também nos disseram que uma outra função é dada por
Com isso, nosso objetivo é calcular a derivada de no ponto .
E aí! Como fazemos isso? 🤔
Lembrando do teorema fundamental do cálculo, a derivada de uma integral resulta na função de integração. Mas quando temos limites de integração de uma função do tipo
Onde se é uma constante, também é uma constante e sua derivada é dada por
E como é uma função composta, aplicamos a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora substituindo por ).
Como é a integral de com substituído por , a derivada de é dada por
Com isso em mente, podemos começar nosso problema! Bora? 👀
Passo 2
Se , para calcular a derivada de , vamos aplicar a regra do produto e considerar a derivada de como .
A regra do produto consiste em calcular a derivada da primeira função, multiplicar pela segunda e somar com a derivada da segunda função multiplicada pela primeira função. Entendeu alguma coisa? 👀
Na prática fica assim, olha só
Pelo método de derivação polinomial, vemos que a derivada de resulta em
Portanto
Para , que é o ponto que estamos interessados, temos
Então agora nossa missão será obter e !
Tranquilo até aqui? 👍
Passo 3
Vamos começar por ! Nesse caso, se substituirmos por em , vamos obter
Observe os limites de integração, estamos integrando de para , portanto, essa integral só pode resultar em . Ou seja
Com obtido, vamos calcular para depois substituir por .
Como vimos no passo 1, a derivada de uma integral em que o limite superior de integração é dado por uma função é obtida como
Comparando com , vemos que e
Assim, calculando , temos
Derivando pelo método de derivação polinomial
Entendeu essa parte? 😎
Passo 4
Com obtido, vamos substituir por para obter a última peça do nosso quebra cabeça
Como , temos que
Por fim, se , vamos obter
Logo, a derivada de no ponto é .
Bacana, não é? 🤩
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
