Seja
Calcule e determine .
Passo 1
Novamente, temos uma questão em que ele pede a derivada de uma função em em que aparece uma integral em . Ok, já sei que você não aguenta mais, mas vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1.
Para deixar a vida um pouco menos monótona, esse caso vai ser um pouquinho diferente. A primeira coisa que você tem que observar é que existe um dentro da integral. Não dá para resolver assim, porque o também é um limite de integração.
Por outro lado, lembra que eu comentei lá na teoria que a variável dentro da integral é e não ? Então o funciona como uma constante para a função dentro da integral. Quando temos uma constante, ela pode ser colocada para fora da integral. Então se conseguirmos separar aquela expressão em uma expressão que dependa apenas de , poderemos tirar essa expressão da integral. Lembre-se que expressões de não podem ser tiradas da integral, pois é a variável da integral!
Outra questão é que vamos cair naquele caso que comentei na observação, em que você tem função de tanto no limite inferior quanto superior. Então... o que é que a gente faz mesmo?
Isso aí: usa aquela propriedade de separar os limites. Vamos transformar em duas integrais: a primeira vai do limite inferior até uma constante qualquer (lembre-se que isso não faz diferença: basta que não seja função de!) e a segunda vai de até o limite superior que temos agora.
Mãos-à-obra?
Passo 2
Primeiro, vamos nos preocupar em tirar o da integral. Olha bem para aquela expressão que temos dentro da integral: temos uma exponencial elevada a uma soma. Lembra das propriedades de função exponencial?
Quando expoentes se somam, para uma mesma base, é como se ocorresse um produto da base elevada a cada expoente:
Então concorda que a expressão que eu tenho é equivalente a:
Olha só como fica a integral:
Lembra que eu falei que uma expressão em é como se fosse uma constante para a função que está dentro da integral, já que a variável da função que está dentro da integral é e não ? Então podemos tirar aquele da integral, certo?
Passo 3
Beleza. Agora que já nos livramos daquele dentro da integral que estava só atrapalhando, podemos nos concentrar em resolver o problema dos dois limites de integração com funções de . Também já sabemos como resolver isso, certo?
Vamos dividir os limites de integração através da propriedade:
Lembrando que é apenas uma constante qualquer independente de , para podermos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Você não precisa se preocupar com seu valor.
Agora vemos que na primeira integral a função de está no limite inferior enquanto a constante está no limite superior. O que fazemos? Isso mesmo: invertemos os limites, invertendo o sinal da integral!
Passo 4
Agora vamos resolver a derivada desse troço. Se não prestarmos atenção, podemos acabar fazendo besteira. Repara aqui comigo. O que queremos é obter a derivada da função . A variável da função é . Aquele saiu da integral mas continua ali dentro de , concorda?
Para , esse não é uma constante, porque ele tem a variável ! Ao aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais também serão transformadas em funções de . Isso porque substituiremos a variável pelas funções de que estão no limite de integração.
Então, no fundo, no fundo, é como se a função estivesse definida como o produto de duas funções de .
É como se tivéssemos isso aqui, ó:
Quando queremos derivar uma função que é produto de duas funções, o que fazemos? Utilizamos a Regra do Produto! Então é isso que vamos fazer aqui!
Que equivale a:
Lembrando que para derivar , usamos a regra da cadeia como eu mostrei na observação 2
Passo 5
Agora, além de , ele pede .
é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir pelo valor da função naquele ponto?
Então é isso que vamos fazer!
Fazendo
Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo: