Seja

f x = ∫ 0 x 3 t 2 - 1 1 + t 2 + t 4 d t

Determine os intervalor onde f é crescente.

Passo 1

Para vermos quando a função f é crescente precisamos olhar o sinal da sua derivada. Vamos derivar essa função

f ' x = ∫ 0 x 3 t 2 - 1 1 + t 2 + t 4 d t '

Temos uma função no limite de integração, lembra que quando usamos o teorema fundamental do cálculo aqui temos que fazer

∫ 0 x 3 t 2 - 1 1 + t 2 + t 4 d t ' = x 3 2 - 1 1 + x 3 2 + x 3 4 . x 3 '

Que é multiplicar a derivada da função que está no limite de integração pela função da integral. Além disso o que vai dentro da função de t é a função no limite de integração.

x 3 2 - 1 1 + x 3 2 + x 3 4 . x 3 ' = x 6 - 1 1 + x 6 + x 12 . 3 x 2

Passo 2

Temos que analisar o sinal da função

x 6 - 1 1 + x 6 + x 12 . 3 x 2

Repara que 3 x 2 1 + x 6 + x 12 vai ser sempre maior que 0 , isso porque 3 x 2 ≥ 0 e no denominador temos 1 + x 6 + x 12 , e esse cara é maior ou igual a 1

x 12 ≥ 0

x 12 + x 6 ≥ x 6 ≥ 0

x 12 + x 6 ≥ 0

x 12 + x 6 + 1 ≥ 1

Beleza então temos que ver o sinal de

x 6 - 1

Podemos reescrever isso lembrando de produto notável

x 6 - 1 = x 3 - 1 x 3 + 1

E sabemos que x 3 - 1 e x 3 + 1 só tem uma raiz, vamos ver o seu quadro de sinais

Isso nos diz que quando x ≤ - 1 ou x ≥ 1 a derivada vai ter sinal positivo, ou seja vai ser crescente.

Resposta

x ≤ - 1     o u     x ≥ 1

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