a ) Seja

G x = ∫ 0 x t ∫ 0 t e u 2 d u d t

Calcule G ' ( x ) e G ' ' ( x ) .

Passo 1

Para G ' ( x ) devemos aplicar apenas o Teorema Fundamental do Cálculo, que coloca a derivada como processo inverso ao da integração. Basicamente vamos tirar essa integral de fora e colocar x no lugar do t :

G ' x = ∫ 0 x t ∫ 0 t e u 2 d u d t ' = x ∫ 0 x e u 2 d u

Para G ' ' ( x ) muda pouco. O que teremos que fazer de diferente? Apenas usar a Regra do Produto, sendo aquele t da frente um termo e a outra integral outro:

G ' ' x = x ∫ 0 x e u 2 d u = x ' ∫ 0 x e u 2 d u + x ∫ 0 x e u 2 d u '

No segundo termo usamos o Teorema Fundamental da mesma forma:

G ' ' x = x ' ∫ 0 x e u 2 d u + x ∫ 0 x e u 2 d u ' = ∫ 0 x e u 2 d u + x e x 2

Resposta

G ' x = x ∫ 0 x e u 2 d u

G ' ' x = ∫ 0 x e u 2 d u + x e x 2

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