Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

Ver Teoria
Exercício 921234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909193949596979899100

Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIA, Avaliações a Distância (AD) - AD1 - 2023.1, Questão 5

Considere a função

H x =   ∫ s e n 2 x cos ⁡ 2 x arccos ⁡ t d t ,       x ∈ 0 , π 4 .

Calcule H π 8 ,   H ' ( x ) e H ' π 8

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão recebemos uma expressão para a função H que é dada através de uma integral:

H x =   ∫ s e n 2 x cos ⁡ 2 x arccos ⁡ t d t

A partir disso precisamos calcular H em x = π / 8 e a derivada de F , F ' , em x e em x = π / 8 .

Massa!

Pra resolvermos esse problema devemos lembrar de um caso especial do teorema fundamental do cálculo. Segundo ele:

Se:

F x =   ∫ h ( x ) g ( x ) f t d t

∴   F ' x = f g x ⋅ g ' x - f h x ⋅ h ' ( x )

Vamos precisar usar essa expressão no cálculo de F ' ( x ) .

Show de bola!

Agora que revisamos essas ideias, vamos para as continhas 😊

Passo 2

Bom, vamos começar calculando

H π 8

Vamos ver como ficarão os limites de integração para esse valor de x .

cos ⁡ 2 ⋅ π 8 = cos ⁡ π 4 = 2 2

s e n 2 ⋅ π 8 = s e n π 4 = 2 2

Assim, a nossa integral para H ( π 8 ) , fica:

H π 8 =   ∫ 2 2 2 2 arccos ⁡ t d t

Opaaaa! Os limites de integração deram iguais. Logo, essa integral vale zero.

Assim:

H π 8 = 0

Primeira parte: check! 😉

Passo 3

Agora iremos calcular H ' ( x ) .

Para fazer isso, usaremos a expressão que mostramos do teorema fundamental do cálculo láaaa no passo 1 .

F ' x = f g x ⋅ g ' x - f h x ⋅ h ' ( x )

Como aqui temos:

H x =   ∫ s e n 2 x cos ⁡ 2 x arccos ⁡ t d t

Vamos ter:

H ' x = arccos ⁡ ( cos ⁡ 2 x ) ⋅ cos ⁡ 2 x ' - arccos ⁡ s e n 2 x ⋅ s e n 2 x '

Daí, temos:

( cos ⁡ 2 x ) ' = - 2 ⋅ s e n ( 2 x ) s e n 2 x ' = 2 ⋅ cos ⁡ 2 x

Além disso:

arccos ⁡ ( cos ⁡ 2 x ) = 2 x

E, usando que:

s e n 2 x = cos ⁡ π 2 - 2 x

Podemos aplicar a r c c o s em ambos os lados, daí:

arccos ⁡ ( s e n 2 x ) = π 2 - 2 x

Logo:

H ' x = 2 x ⋅ - 2 ⋅ s e n 2 x - π 2 - 2 x ⋅ 2 ⋅ c o s ⁡ ( 2 x )

Excelente! Por fim, podemos ainda calcular H ' π 8 . Vamos fazer que:

H ' π 8 = 2 ⋅ π 8 ⋅ ( - 2 ⋅ s e n 2 ⋅ π 8 - π 2 - 2 ⋅ π 8 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ 2 ⋅ π 8

= π 4 ⋅ - 2 - π 4 ⋅ 2

Logo:

H ' π 8 =   - 2 2 π 4

∴ H ' π 8 =   - 2 ⋅ π 2

Excelente! Matamos mais uma questão!

Obrigado pela atenção pessoal 😊

Resposta

H π 8 = 0 H ' x = 2 x ⋅ - 2 ⋅ s e n 2 x - π 2 - 2 x ⋅ 2 ⋅ c o s ⁡ ( 2 x ) H ' π 8 =   - 2 ⋅ π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use a parte 1 do teorema fundamental do cálculo para encontrar a derivada da função: h x = ∫ 2 1 / x arctan ⁡ t d t
Ache a integral indefinida geral. Ilustre fazendo o gráfico de vários membros da família na mesma tela. ∫ cos ⁡ x - 2 sen ⁡ ( x ) d x
Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas. y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 y = ∫ 0 x
A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = 5 - x x + 1 2 , pelo eixo x e pelo eixo y gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Em uma cidade com 12000 pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe é conjuntamente proporcional ao número de pessoas tiveram a gripe e ao número de pessoas que não a contraíram. Cinco dia