Se
então qual das afirmações abaixo é FALSA ?
- é contínua para
Passo 1
Vamos ter que testar as afirmações uma por uma.
Letra (a):
Temos
Ou seja, a letra (a) diz que:
Nem adianta tentar integrar porque não vai dar. Não sabemos nenhum método pra resolver essa integral.
Passo 2
O lance vai ser comparar essa integral com outra que conhecemos. Que tal simplesmente a função constante ? Temos que
Ou seja, a letra (a) está afirmando que:
“Cortando” a integral:
Desenvolvendo essa inequação :
Estamos no intervalo , ou seja a condição está respeitada! A letra (a) está falando a verdade.
Passo 3
Letra (b):
Essa é tranquila:
Por definição, quando os limites de integração são iguais a integral dá zero. Então a letra (b) é verdadeira também.
Passo 4
Letra (c): é contínua para
Nossa função é dada por uma integral:
Uma boa maneira de testar a continuidade é derivando. Se a derivada existir, a função é contínua!
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Essa função tem uma descontinuidade em , onde o denominador se anula. Mas pra todo essa derivada existe. Ou seja, pra nossa é contínua.
A letra (c) também está certa.
Passo 5
Letra (d):
Calculamos a derivada no passo anterior:
Portanto:
A afirmativa (d) está certa.
Passo 6
Por eliminação, nos resta que a letra (e) é falsa. Mas vamos conferir isso aí!
Letra (e):
O raciocínio vai ser exatamente o mesmo que usamos na letra (a):
Daí dá pra cortar a integral e fica:
Opa, isso tá errado! Estamos no intervalo , então .
Essa inconsistência nas contas faz com que a letra (e) seja falsa.
Resposta
Letra (e)