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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.

g) g ( x ) = ∫ t g ( x ) x ³ t s e n ( t ² ) d t

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos conversar um pouco o Teorema Fundamental do Cálculo.

  1. Caso a integral tenha o formato ∫ c x f ( t ) d t = g x temos:

    2. g x ’ = f x

  2. E, se tiver a forma ∫ c p ( x ) f ( t ) d t = h x = g ( p ( x ) ) é só desenvolvermos pela regra da cadeia:

    3. h x ' = g p x ' =   g ' p x p x '  

    E sabemos que g ’ é f ( x )

    h x ' = g ' p x p x '   = f ( p ( x ) ) p ( x ) '

  3. E então, se tivermos algo na forma ∫ q ( x ) p ( x ) f ( t ) d t = h ( x ) podemos fazer o seguinte:

∫ q ( x ) p ( x ) f ( t ) d t =   ∫ q ( x ) c f t d t   +   ∫ c p ( x ) f ( t ) d t = ∫ c p ( x ) f ( t ) d t -   ∫ c q ( x ) f t d t    

Temos que h x = ∫ q ( x ) p ( x ) f ( t ) d t =   ∫ c p ( x ) f ( t ) d t -   ∫ c q x f t d t     , e descobrimos em (2) que podemos chamar essas partes da seguinte forma:

h x = g p x - g q x

h x ' = g ' p x p x ' - g ' q x q x ' = f p x p x ' - f ( q ( x ) ) q ( x ) '

Passo 2

Agora é só aplicar no nosso exercício:

h x = ∫ t g x x 3 t s e n t 2 d t =   ∫ c x ³ t s e n ( t ² ) d t - ∫ c t g ( x ) t s e n ( t ² ) d t

h x = g p x - g q x

h x ' = g ' p x p ( x ) ' - g ' q x q ( x ) '

Detectamos:

p ( x ) = x ³     ;   q ( x ) = t g ( x )

p x ' = 3 x ²     ;   q x ' = s e c ² ( x )

f p x =   x ³ s e n x 6 ;       f q x = t g ( x ) s e n t g ² ( x )

h x ' = 3 x ² x 3 s e n x 6 - s e c ² ( x ) t g ( x ) s e n t g ² ( x )

Em realidade, o nosso   h ( x )   é chamado de g ( x ) pela questão, então temos:

g ( x ) ' = 3 x ² x 3 s e n x 6 - s e c ² ( x ) t g ( x ) s e n t g ² ( x )

Simples assim 😉

Resposta

g) g ( x ) ' = 3 x ² x 3 s e n x 6 - s e c ² ( x ) t g ( x ) s e n t g ² ( x )

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