Calcule as integrais abaixo, utilizando para isso o Teorema Fundamental do Cálculo:

e)

∫ 0 1 e z - e - z 2 d z

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ 0 1 e z - e - z 2 d z

Lembrando que essa integral pode ser reescrita da seguinte forma:

∫ 0 1 e z - e - z 2 d z = 1 2 ∫ 0 1 e z d x - ∫ 0 1 e - z d x

Mas antes, sempre é bom relembrar um pouquinho desse teorema.

Seja f x uma função contínua no intervalo a , b . Então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f .

Ou seja, primeiro devemos descobrir qual é a função primitiva para depois aplicarmos os limites!!

Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, para ∫ 0 1 e z d x sabemos que a primitiva é dada por:

F z = e z

Dessa forma, aplicando os limites, temos:

∫ 0 1 e z d x = F 1 - F 0 ∴

∫ 0 1 e z d x = e 1 - e 0 ∴

∫ 0 1 e z d x = e - 1

Passo 3

Assim, para ∫ 0 1 e - z d x sabemos que a primitiva é dada por:

F x = - 1 e z

Dessa forma, aplicando os limites, temos:

∫ 0 1 e - z d x = F 1 - F 0 ∴

∫ 0 1 e - z d x = - 1 e 1 - - 1 e 0 ∴

∫ 0 1 e - z d x = 1 - 1 e

Passo 4

Por fim, temos que o resultado da nossa integral é dado por:

∫ 0 1 e z - e - z 2 d z = 2 * e - 1 - 1 - 1 e ∴

∫ 0 1 e z - e - z 2 d z = e 2 + 1 2 e - 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 1 e z - e - z 2 d z = e 2 + 1 2 e - 1

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