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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 17

Mostre que

∫ x 3 t g ( x ) d x   =   1 4 ( x 4 - 1 ) t g ( x )   -   1 12 x 3 + 1 4 x + c

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez uma questão para mostrarmos que uma igualdade vale.

Queremos mostrar que

∫ x 3 t g ( x ) d x   =   1 4 ( x 4 - 1 ) t g ( x )   -   1 12 x 3 + 1 4 x + c

E aí, por onde começamos?

Talvez seja mais fácil derivarmos o lado direito da integral. Vamos fazer isso!!!

Passo 2

Vamos começar derivando, então

  d d x ( 1 4 ( x 4 - 1 ) t g ( x )   -   1 12 x 3 + 1 4 x + c )

=   x 3 t g ( x )   +   1 4 ( x 4 s e c 2 ( x )   -   s e c 2 ( x ) - x 2 + 1 )

Olha só já apareceu o nosso termo x 3 t g ( x ) . Então para valer a igualdade precisamos mostrar que para todo x

1 4 ( x 4 s e c 2 ( x )   -   s e c 2 ( x ) - x 2 + 1 ) = 0

Mas isso claramente não é verdade. Então como fazemos? Será que existe algum intervalo onde essa expressão é zero? A resposta é sim!!!!

Vamos encontrar essa região!!!!

Passo 3

No passo anterior, chegamos a conclusão que precisamos encontrar uma região nos reais tal que

1 4 ( x 4 s e c 2 ( x )   -   s e c 2 ( x ) - x 2 + 1 ) = 0

pois nessa região, a derivada de 1 4 ( x 4 - 1 ) t g ( x )   -   1 12 x 3 + 1 4 x + c , é ,aproximadamente x 3 t g ( x )

Vamos começar encontrando as raízes de

1 4 ( x 4 s e c 2 ( x )   -   s e c 2 ( x ) - x 2 + 1 )

É fácil ver que x = 0 é uma raiz, então para uma vizinhança próxima de zero podemos assumir a igualdade

Passo 4

Como vimos no passo anterior, temos que para 0   -   ϵ ≤ x ≤ 0 + ϵ  

1 4 ( x 4 s e c 2 ( x )   -   s e c 2 ( x ) - x 2 + 1 ) ≃   0

Então a nossa integral

∫ x 3 t g ( x ) d x   =   1 4 ( x 4 - 1 ) t g ( x )   -   1 12 x 3 + 1 4 x + c

para   0   -   ϵ ≤ x ≤ 0 + ϵ  

Na verdade, podemos expandir ainda mais esse intervalo, mas técnicas necessárias para fazer isso não são o objetivo principal dessa questão.

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu um baita trabalho, mas conseguimos fazer!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

desenvolvimento acima

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