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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

UFMG – Cálculo 1 – P5 – 2020.1

Seja f uma função derivável tal que f 0 = 7 . Sabe-se que

∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 7 x 41 - 6 x 5 ) d x = 18 / 6  

Quanto vale f ( - 5 )

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

O enunciado tá nos dando umas paradas super doidas e a gente primeiro tem que entender esses rolês aí!

Qual é a ideia aqui, vamos ter que fazer umas manipulações na nossa equação pra aparecer as informações que o enunciado nos dá e também o que nos pede.

Parece meio confuso, mas vem comigo que vamos resolver juntinhos!

Passo 2

Primeiro, vamos chamar

u x = x 42 - 6 x 5

Agora vamos derivar esse cara:

u ' x = 42 x 41 - 36 x 5

Note que isso é a mesma coisa que escrever:

u ' x = 6 7 x 41 - 6 x 5

Logo,

u ' x 6 = 7 x 41 - 6 x 5

Passo 3

Olha que maravilha, isso que encontramos no passo (1) é exatamente a outra parcela que temos dentro da integral!!

∫ 0 1 f ' ( x 42 - 6 x 6 ) ( 7 x 41 - 6 x 5 ) d x = 18 / 6

∫ 0 1 f ' ( u ) u ' 6 d x

Mas olha só, agora que nossos integrantes estão em função de u , precisamos ajustar nossos limites de integração!!!

∫ 0 1 f ' ( u ) u ' 6 d x = ∫ u 0 = 0 u 1 = 1 42 - 6 × 1 6 = - 5 f ' ( u ) u ' 6 d u

Resolvendo, temos:

1 6 ∫ 0 - 5 f ' u d u = 1 6 f - 5 - f 0 = 18 6

Logo,

f - 5 = 18 + f 0 = 18 + 7 = 25

Resposta

f - 5 = 25

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