Teorema Fundamental do Cálculo
Seja uma função derivável e considere
Se para todo , calcule:
Passo 1
Partimos da mesma expressão que encontramos antes:
Se , a expressão diminui:
Agora, temos algo importante, se vale para todo no domínio, é válido dizer que pode ser encontrado através da integral:
Vamos fazer essa mudança para simplificar a expressão.
Para simplificar ainda mais, faremos assim, . A parada agora é calcular os dois limites:
Passo 2
Para o primeiro limite, substituindo vemos que ele fica indeterminado, uma vez que não sabemos para onde o seno de vai. Dessa maneira, podemos usar o Teorema do Confronto:
Para o outro limite, substituiremos de primeira:
Agora, repara que é parte do domínio, mas se , teríamos um problema. Apenas para não restar dúvidas, podemos calcular o limite .
Podemos separar esses dois limites. O segundo vai a zero. Já o primeiro, cai numa indeterminação . Por você vai notar que ele vai para . Logo,