Considere a função definida por
a) Determine a primeira e a segunda derivadas de .
b) Determine a abscissa (coordenada ) do ponto de inflexão do gráfico de . Justifique sua resposta.
c) Determine a ordenada (coordenada ) do ponto de inflexão do gráfico de . Justifique sua resposta.
Passo 1
a) Vamos observar um negócio: é uma função composta , onde e . Beleza né?
Lembra da primeira parte do teorema fundamental do cálculo? Dela temos o seguinte, se tivermos
Então, sua derivada é dada por
Seguindo ela, sabemos que se , então
Como é uma função composta, vamos usar a regra da cadeia para derivá-la, que diz que se tivermos uma função , então sua derivada é
Temos que e , então:
Passo 2
Sabendo que a primeira derivada de é , agora vamos encontrar a segunda derivada por regra do produto, lembra? Ela diz o seguinte: se tivermos uma função , sua derivada será
No nosso caso, temos o produto das funções e , então a regra do produto fica assim:
Colocando os termos comuns em evidência:
Passo 3
b) O ponto de inflexão acontece quando a segunda derivada é 0 certo? Então:
Bom, temos uma multiplicação de com , e essa multiplicação tem que ser igual a 0. A coisa é o seguinte: pra multiplicação zerar, um dos termos tem que ser igual a 0, mas pensa comigo: nunca vai ser 0, por quê? Porque é uma constante, e simplesmente não tem como zerar pra nenhum valor de .
Então a única forma de nosso produto ser 0, é se :
Ta bom, mas vamos pensar uma coisa: o enunciado fala pra gente que a função só está definida no intervalo , então, se está nesse intervalo, está no intervalo .
Agora sim vamos continuar, se temos o cosseno igual o seno, vamos pensar no ângulo que eles se igualam. Isso acontece em né?
Então:
Aeeee, encontramos o valor de que faz a segunda derivada ser 0 :D Então é a abscissa do nosso ponto de inflexão.
Passo 4
c) Para encontrarmos a ordenada, basta calcularmos certo? Pois é o par com a nossa abscissa :
Vamos fazer a integral indefinida primeiro vai, só pra facilitar nossa vida hahaha
Usaremos integração por partes, que diz o seguinte:
Pra escolhermos quem vai ser e quem vai ser , vamos usar a regrinha do LIATE que vimos lá na teoria hehe então vamos escolher:
(trigonométrica)
(exponencial)
Passo 5
Usando a formulazinha de integração por partes:
Eita! Vamos ter que calcular essa nossa segunda integral por partes de novo hahaha
Dessa vez:
Passo 6
Vamos substituir nossa segunda integral por partes na expressão
Passando o pro outro lado:
Ihu! Calculamos nossa integral indefinida. Agora é só fazer os limites de integração :P
Passo 7
Temos
Então, nossa ordenada do ponto de inflexão é:
Resposta
a)
b)
c)