UFMG; Cálculo 1; Prova 2 – 2019.1; Exercício 1
1) Encontre (sem calcular a integral) a derivada da função
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
O que precisamos calcular nesse exercício é a derivada da função , que possui como sua variável e que está dentro de uma integração de uma função de . Isso é um pouco confuso, não é?
Em outras palavras, a função completa () possui como variável, mas essa variável só aparece no intervalo de integração. E como a função dentro da integral está em função de , calculamos algo chamado Argumento de Integração.
Você vai perceber que é mais fácil do que parece... Vamos trabalhar nisso?
Passo 2
O que faremos é calcular a derivada de com relação a usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.
Esses dois conceitos apesar de teóricos, são os conceitos que usamos para todas as contas envolvendo derivadas e integrais.
Para o nosso caso:
Em resumo, substituímos por . Isso é o Argumento de Integração aplicado.
E devido ao teorema fundamental do cálculo, quando executamos isso, multiplicamos pela derivada do argumento. Por isso apareceu.
Passo 3
A partir daqui, só precisamos calcular!
pode ser reescrito como .
Derivando :
Reescrevendo:
Passo 4
Agora vamos juntar os termos:
Ou simplificando:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?