Teorema Fundamental do Cálculo
Seja .
Calcule para .
Verifique se é derivável em . Em caso afirmativo, calcule .
Passo 1
Vamos começar derivando esse cara. Temos que usar o Teorema Fundamental, já que se trata de uma derivada de integral em . Agora antes disso, repara que tem dentro da função da integral uma parte que é função de , então devemos retirá-la dali como se fosse uma constante:
Ou seja, temos que derivar esse cara com a Regra do Produto:
No segundo termo usamos o TFC na derivada:
Essa é a derivada que queremos.
Passo 2
Para observar se esse cara é derivável em também nós precisamos primeiro ver se ela é contínua. Como não há nada que limite o domínio ela realmente será contínua. Então usamos a definição de derivada nesse ponto para ver se é contínua em :
Podemos usar L’Hospital para fugir da indeterminação. Da letra já temos a derivada:
Ali no quociente que sobrou eu forcei aparecer o limite fundamental. No caso, ele está dividido por . Assim, olha como vai ficar:
Ou seja, , é derivável nesse ponto!