Seja Encontre e .

Agora vamos descobrir quando vale isso. Repara que os extremos de integração ficaram iguais. Aí a gente lembra lá daquela propriedade de integrais definidas. Se a gente tiver extremos de integração iguais, a nossa integral zera.

A gente nem precisa integrar essa antes para saber que essa integral zera. Agora olha para o que queremos calcular:

Esse integrando tá bem feio, né? Mas a gente nem precisa se importar com ele, porque os extremos de integração estão iguais, então essa integral vale zero! E aí:

Prontinho!

Ele também pediu .

Vou começar te dando um bizu: toda vez que você tem uma função definida por integral, o integrando é bem feinho e ele te pedir a derivada dessa função, você pensa logo na parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Olha só o que ele diz. Se:

Sendo uma constante e o extremo superior dessa integral o argumento de . A derivada disso fica:

Nossa, é só substituir em ? Isso mesmo! Vamos ver como funciona para o nosso caso!

Cara, quem é a nossa ? O , né? Aí ele tem essa cara:

Mas repara que o argumento de , ou seja, o extremo superior dessa integral, não é só , é . Então a gente vai dizer que é uma função composta. E como deriva função composta? Usando a regrinha da cadeia!

E como fica usar a regra da cadeia com o Teorema Fundamental do Cálculo? Cara, se a gente chamar:

Nossa função fica assim:

Aí a gente pode dizer que:

Sendo que:

E como é a regra da cadeia? A gente deriva a função de fora no ponto da de dentro e depois multiplica pela derivada da função de dentro, né? A função de fora é uma função definida por integral. Então para derivar ela, usamos o TFC como a gente viu no passo 1.

Só vamos substituir o extremo superior da integral (que no nosso caso vale ) em . Aí a derivada de fora no ponto da de dentro fica:

Repara que a gente usou uma propriedade de potência para simplificar nossa função ali. E aí falta a derivada da função de dentro, ou seja:

E aí a nossa derivada de , pela regra da cadeia, é o produto entre essas duas coisas: