Seja h x = ∫ 0 x 4 s e n t 2 d t . Encontre h 0 e h ' x .

Passo 1

Cara, ele está pedindo h 0 e esse é h x :

h x = ∫ 0 x 4 s e n t 2 d t

A gente quer o valor de h quando x = 0 . Então bora substituir esse valor de x na nossa função:

h x = ∫ 0 x 4 s e n t 2 d t

h 0 = ∫ 0 0 4 s e n t 2 d t = ∫ 0 0 s e n t 2 d t

Passo 2

Agora vamos descobrir quando vale isso. Repara que os extremos de integração ficaram iguais. Aí a gente lembra lá daquela propriedade de integrais definidas. Se a gente tiver extremos de integração iguais, a nossa integral zera.

∫ a a f x   d x = 0

A gente nem precisa integrar essa f x antes para saber que essa integral zera. Agora olha para o que queremos calcular:

h 0 = ∫ 0 0 s e n t 2 d t

Esse integrando tá bem feio, né? Mas a gente nem precisa se importar com ele, porque os extremos de integração estão iguais, então essa integral vale zero! E aí:

h 0 = ∫ 0 0 s e n t 2 d t = 0

h 0 = 0

Prontinho!

Passo 3

Ele também pediu h ' x .

Vou começar te dando um bizu: toda vez que você tem uma função definida por integral, o integrando é bem feinho e ele te pedir a derivada dessa função, você pensa logo na parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Olha só o que ele diz. Se:

F x = ∫ c x f t d t

Sendo c   uma constante e o extremo superior dessa integral o argumento x de F x . A derivada disso fica:

F ' x = f x

Nossa, é só substituir x em t ? Isso mesmo! Vamos ver como funciona para o nosso caso!

Passo 4

Cara, quem é a nossa F x ? O h x , né? Aí ele tem essa cara:

h x = ∫ 0 x 4 s e n t 2 d t

Mas repara que o argumento de h x , ou seja, o extremo superior dessa integral, não é só x , é x 4 . Então a gente vai dizer que h x é uma função composta. E como deriva função composta? Usando a regrinha da cadeia!

E como fica usar a regra da cadeia com o Teorema Fundamental do Cálculo? Cara, se a gente chamar:

g x = x 4

Nossa função fica assim:

h x = ∫ 0 g x s e n t 2 d t

Aí a gente pode dizer que:

h x = I g x

Sendo que:

I x = ∫ 0 x s e n t 2 d t

Passo 5

E como é a regra da cadeia? A gente deriva a função de fora no ponto da de dentro e depois multiplica pela derivada da função de dentro, né? A função de fora é uma função definida por integral. Então para derivar ela, usamos o TFC como a gente viu no passo 1.

Só vamos substituir o extremo superior da integral (que no nosso caso vale g x = x 4 ) em t . Aí a derivada de fora no ponto da de dentro fica:

s e n t 2 = s e n g x 2 = s e n x 4 2 = s e n x 8

Repara que a gente usou uma propriedade de potência para simplificar nossa função ali. E aí falta a derivada da função de dentro, ou seja:

g ' x = x 4 ' = 4 x 3

E aí a nossa derivada de h x , pela regra da cadeia, é o produto entre essas duas coisas:

h ' x = s e n x 8 ⋅ 4 x 3 = 4 x 3   s e n x 8

Resposta

h 0 = 0

h ' x = 4 x 3   s e n x 8

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