UFF, Sem Campus, Cálculo IIA, Avaliações a Distância (AD) - AD1 - 2023.1, Questão 1
Considere a função:
Calcule .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo tranquilo por aí?
Nessa questão recebemos uma expressão para a função que é dada através de uma integral:
A partir disso precisamos calcular em e a derivada de , , em e em .
Massa!
Pra resolvermos esse problema devemos lembrar de um caso especial do teorema fundamental do cálculo. Segundo ele:
Se:
Vamos precisar usar essa expressão no cálculo de . Além disso, também é importante lembrarmos que a fun��ão e possuem contradomínios “especiais”:
Show de bola!
Agora que revisamos essas ideias, vamos para as continhas 😊
Passo 2
Bom, vamos começar calculando
Usando a nossa expressão, teríamos:
Vamos pensar um pouquinho nesses limites de integração. Lembrando do contradomínio que comentamos para a função no passo anterior, temos:
Já para a função , vamos ter:
Assim, aquela nossa integral anterior, na verdade se resume a:
Olha que legal. Temos uma integral cujos limites de integração são iguais. Assim, independente da função que está sendo integrada, podemos afirmar que:
Logo:
Excelente! O primeiro já foi 😊
Passo 3
Vamos agora calcular .
Como é resultado da integral de uma função, cujos limites de integração são também outras funções, precisaremos calcular a sua derivada usando a expressão que encontramos no passo :
No nosso caso:
Vamos então, começar calculando as derivadas dessas funções.
No caso, as derivadas delas são tabeladas, e temos:
Assim, substituído na nossa expressão, teremos:
Boa! Vamos pensar um pouco agora em cada um desses termos:
Reescrevi assim pra ficar mais fácil da gente visualizar. Temos que:
Vamos pensar agora no outro termo trigonométrico:
Aqui vamos precisar ser um pouco truquentos haha!
Lembram da relação fundamental da trigonometria?
Substituindo por , temos:
Mas:
Assim:
Substituindo esse resultado lá em cima, tamos ter:
Excelente! Tiramos todas as funções trigonométricas da jogada. Vamos voltar para :
Fazendo algumas manipulações temos:
Prontinho! Descobrimos uma expressão para a derivada de .
Passo 4
Pra finalizar, devemos calcular .
Podemos usar a própria expressão que encontramos no item anterior, daí vamos ter:
Logo:
Prontinho gente! Finalizamos a questão.
Vocês curtiram a solução? Responde Aí!