UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.2, Questão 3
Sejam função diferenciável cuja derivada é contínua, tal que
O valor de da integral é:
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do método de integração por partes!!! Lembram dele?
Ele diz que se
Lembraram? Boa!
Então bora pra questão!!!! Queremos valor de da integral , mas sabemos que
E aí? Como podemos prosseguir? Vamos trabalhar com a integral abaixo primeiro.
Integral feia, né? Vamos fazer a seguinte mudança de variável.
Além disso, temos uma mudança nos limites de integração. Temos que se
se
Dessa forma, a nossa integral pode ser reescrita como
Como as integrais são iguais. Então
Vamos guardar esse resultado.
Passo 2
No passo anterior, chegamos a conclusão que
Agora, vamos trabalhar com a outra integral que o enunciado nos dá.
O que podemos fazer? Vamos resolvê-la. E para isso precisamos da integração por partes que diz que
Então fazendo e temos:
Mas o enunciado diz que
Logo,
E como
Então:
Tá e como isso ajuda a gente a calcular ? Ora temos que
E já calculamos essas integrais!!!! Então temos que
Valor encontrado na alternativa
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊