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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

Mostre que y x = 1 a ∫ 0 x f t sen ⁡ a x - t   d t é solução do problema de valor inicial:

y ' ' + a y = f x ,     y ' 0 = y 0 = 0 ,

Onde a ∈ R * é constante.

Passo 1

Temos que derivar y x , usando o teorema fundamental do cálculo.

Pra começo de conversa, podemos botar o sen ⁡ a pra fora da integral:

1 a ∫ 0 x f t sen ⁡ a x - t   d t = sen ⁡ a a ∫ 0 x f t x - t   d t

Passo 2

Agora desenvolvemos isso aí:

sen ⁡ a a ∫ 0 x f t . x   d t - ∫ 0 x f t . t   d t

Estamos integrando em relação a t , então o x sai da primeira integral como se fosse uma constante qualquer, aí fica assim:

y x = sen ⁡ a a x ∫ 0 x f t   d t - ∫ 0 x f t . t   d t

Passo 3

Uma das condições do problema é que y 0 = 0 . Ou seja:

y 0 = sen ⁡ a a 0 ∫ 0 0 f t   d t - ∫ 0 0 f t . t   d t = 0

E de fato isso é verdade, pois qualquer integral onde os limites de integração são iguais vale zero.

Passo 4

Pronto! Agora podemos usar o TFC. Detalhe que como vamos derivar em relação a x , para a primeira integral temos que aplicar a regra do produto:

d d x x ∫ 0 x f t   d t = ∫ 0 x f t   d t + x f x

d d x ∫ 0 x f t . t   d t = x f x

Logo,

y ' x = sen ⁡ a a ∫ 0 x f t   d t + x f x - x f x

⇒ y ' x = sen ⁡ a a ∫ 0 x f t   d t

Passo 5

Verificamos que:

y ' 0 = sen ⁡ a a ∫ 0 0 f t   d t = 0

Ok, podemos continuar.

Passo 6

Precisamos de y ' ' x , então vamos derivar de novo! É bom porque vai dar pra gente se livrar dessa integral:

y ' ' x = sen ⁡ a a f x

Melhor né?

Passo 7

Ele está falando que y é solução do problema de valor inicial:

y ' ' + a y = f x

Substituindo o que achamos:

sen ⁡ a a f x + a .   1 a ∫ 0 x f t sen ⁡ a x - t   d t = f x

sen ⁡ a a f x + ∫ 0 x f t sen ⁡ a x - t   d t = f x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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