UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P3 – M.Escolha
Seja definida por
Selecione a opção que apresenta os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para baixo:
e
e
e
e
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!
Para encontramos o(s) intervalo(s) onde temos concavidade para baixo, vamos usar a seguinte propriedade.
Se em um determinado intervalo tivermos teremos concavidade para baixo, onde é a segunda derivada da função .
Então precisamos encontrar e analisar onde ela é negativa dentro do domínio de , tendo isso a gente sabe onde a concavidade é para baixo.
Para encontrar sem ter que resolver a integral para depois derivar a função, podemos usar o teorema fundamental do cálculo, onde temos que:
Com isso encontramos e depois é só derivar para encontrar .
Vamos as contas!
Passo 2
Vamos atrás de , temos o seguinte:
Mas a derivada de uma constante é zero, assim:
Passo 3
Agora vamos encontrar , para isso vamos usar a regra do cociente, onde temos que:
Então temos o seguinte:
Então temos que:
Passo 4
Agora temos que avaliar em que intervalos temos .
Temos o seguinte:
Olhando essa função a gente pode ver que para ela é zero, então ou para valores ela era negativa e depois para ficou positiva ou o contrário, então vamos ver o valor dela para , já que é um dos limites do domínio, temos:
Para esse valor a função diverge, então vamos avaliar para , temos:
Então o primeiro intervalo é de .
Passo 5
Agora vamos ver se tem outro intervalo, a gente já sabe que depois de zero cresce e fica positiva, só que pegarmos por exemplo, ela fica negativa de novo.
E olhando para valores de ela continua negativa.
Isso quer dizer que ela subiu e depois desceu de novo e ficou negativa, então teve um ponto no meio disso que ela deixou de ter valores positivos e passou a ter valores negativos.
Vamos analisar , temos:
Então a partir de a função passou a ter valores negativos, então passamos a ter concavidade para baixo em , assim o outro intervalo é .
Então a única alternativa que está certa é a letra .
Resposta
e