UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.1, Questão 7
A função definida pela relação
tem dois mínimos locais nos pontos respectivamente.
O valor de é é:
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do teorema fundamental do cálculo!!! Lembram dele?
Ele diz que se
Lembraram? Boa!
Além disso, podemos combinar esse teorema com a regra da cadeia, chegando na seguinte conclusão
Show? Então bora pra questão.
Queremos saber o módulo da diferença entre os pontos mínimos de
Como achamos os mínimos de uma função? Deriva e iguala a zero!!! Então vamos fazer isso!!!!
Usando a regra da cadeia, temos:
Agora, igualamos a zero para descobrirmos os pontos críticos.
Bem, se o produto é igual a zero, então uma de suas parcelas é zero, ou seja, temos que
Passo 2
No passo anterior, chegamos a conclusão que os pontos críticos serão os tais que
Começando da última equação temos:
Da segunda equação temos:
Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as seguintes soluções
e por fim a primeira equação nos dá que
Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as seguintes soluções
Passo 3
Bem, temos várias escolhas para ser ponto crítico, mas qual delas é ponto de mínimo? Os pontos de mínimos locais são aqueles onde o sinal da derivada à esquerda do ponto é negativa e a direita é positiva. Quais pontos satisfazem isso?
Vamos testar os valores de
Como
Temos que o primeiro e terceiro termo desse produto são sempre positivos, então só precisamos checar os demais termos. Para , o último termo é positivo a esquerda e a direita do ponto. Mas o termo central é negativo à esquerda e positivo à direita, logo é um ponto de mínimo. Vamos encontrar outro ponto de mínimo.
Agora, para , temos que o último termo é negativo, tanto a esquerda quanto a direita. Mas o terceiro termo é negativo a direita de . Dessa forma o produto das parcelas será negativo à esquerda e positivo à direita, logo é um ponto de mínimo.
Como o enunciado só assume dois pontos de mínimos e já os encontramos, podemos calcular o módulo da diferença entre eles. Então temos:
Valor presente na alternativa
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊