Considere a seguinte função f : R → R :

f x = ∫ 2 x 2 + x e - t 2 d t  

  1. Determine f 1 .
  2. Calcule f ' 0 .

Passo 1

f 1 é obtido simplesmente fazendo x = 1 na integral: f 1 = ∫ 2 1 2 + 1 e - t 2 d t = ∫ 2 2 e - t 2 d t

Como os limites superior e inferior de integração são iguais, então:

f 1 = ∫ 2 2 e - t 2 d t = 0

Passo 2

Agora, vamos tentar achar primeiro f ' x e depois achamos os valores no ponto. Pelo teorema fundamental do cálculo temos que: ∫ 2 x 2 + x e - t 2 d t = F x 2 + x - F 2

Tal que: F ' t = e - t 2

Que é o integrando. Assim:

f ' x = F x 2 + x - F 2 ' = F ' x 2 + x ⋅ x 2 + x '

F ' 2 = 0 , pois é uma constante, uma vez que o argumento é uma constante. Como:

F ' t = e - t 2

Então, substituindo t por x 2 + x :

F ' x 2 + x = e - x 2 + x 2

Da mesma forma: x 2 + x ' = 2 x + 1

Ou seja, substituindo:

f ' x = e - x 2 + x 2 2 x + 1

No ponto x = 0 :

f ' 0 = e - 0 2 + 0 2 2 ⋅ 0 + 1 = 1 ⋅ 1 = 1

Pronto!

Resposta

  1. 0
  2. 1

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