Seja a função dada por
Determine, caso exista(m):
- e (a primeira e a segunda derivadas de ).
- O(s) intervalo(s) onde é crescente.
- O(s) intervalo(s) onde o gráfico de tem concavidade voltada para baixo.
Passo 1
Bem, para dar aquela lembrada, de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, a derivada da integral é a própria função que estamos integrando...
Mas isso acontece quando os limites são constantes. Quando os limites são funções, como você já deve saber...
No caso...
Passo 2
Para a segunda derivada, basta derivar a primeira tomando cuidado com a regra da cadeia...
Passo 3
Para saber onde a função é crescente ou decrescente em de a , temos que analisar o sinal da primeira derivada. Ora, onde a primeira derivada é positiva e negativa, depois é só saber que...
Como a...
Bem, é chato trabalhar com a secante então...
Para essa fração ser positiva, basta que...
E isso só acontece quando o ângulo está entre e
Multiplicando todo mundo por ...
E dividindo todo mundo por ...
Repare que em precisamos olhar onde a função é decrescente, porque só queremos olhar saber do intervalo , e nesse intervalo, a função é inteiramente positiva.
Passo 4
O gráfico de terá a concavidade voltada para baixo quando a segunda derivada for negativa...
Como...
Bem, é uma constante positiva e no intervalo pedido, já sabemos que é positivo também... Então a única forma dessa expressão ser negativa é se...
Então, o intervalo dentro de em que a função terá a concavidade para baixo é...