UFMG – Cálculo 1 – P5 – 2020.1
Sejam e números reais e uma função diferenciável tal que , , e
O valor de
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
Essa questão assusta um pouquinho, mas a gente precisa só fazer ela com calma que vamos conseguir!!
Primeiro, vamos resolver aquela integral mais interna e depois vamos abrindo pras mais externas.
Passo 2
Vamos chamar:
Temos ali uma integral que é uam exponencial de uma função de t, e sabemos que a integrais de uma exponencial dá ela própria! Então,
Opa, mas o enunciado nos disse quanto vale
Passo 3
Agora vamos resolver a integral de fora:
Resolvendo as integrais, temos:
Do enunciado, temos os valores das derivadas ali!!!
Passo 4
Agora precisamos encarar essa derivada aqui!!!
Mas podemos pensar no seguinte: usando o Teorema Fundamental do Cálculo, observamos que a derivada segunda de será igual ao valor da integral dada no enunciado, logo:
Portanto, o valor da integral dada será: 16