Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t

Passo 1

Como sempre, temos que começar o limite substituindo o valor do x :

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t = ∫ 0 0 e t 3 d t ∫ 0 0 e 2 t 2 d t

= 0 0

Indeterminação de quociente, como dá para ver. O jeito mais prático seria usar a Regra de L’Hospital e derivar os termos de cima e de embaixo. O detalhe é que temos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo para essa derivada, já que trata-se da derivada de integrais:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t → L ' H lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ' ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t '

= lim x → 0 ⁡ e x 3 3 x 3 ' e 2 x 2 2 x 2 '

= lim x → 0 ⁡ e x 9 3 x 2 e 2 x 4 2 x

= lim x → 0 ⁡ e x 9 3 x e 2 x 4 2

Substituindo:

= lim x → 0 ⁡ e 0 9 3 ∙ 0 e 2 ∙ 0 4 2

= lim x → 0 ⁡ 1 0 1 2

= 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t = 0

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