Teorema Fundamental do Cálculo
Dê o domínio e calcule a derivada da função , onde
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função , ou seja, quer saber os valores de para que resulte em valores reais.
Repare que temos uma pegadinha aqui: não se pediu o domínio de ! E, sim, de . Entender isso é importante.
Em segundo lugar, o enunciado pede a derivada de . Como sempre, ao aparecer uma integral na forma , temos que pensar no Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1! Ainda mais, se pedindo a derivada dessa função.
Relembrando: o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 fala que se for contínua em , então para é contínua em , derivável em e .
Para acharmos o domínio de , temos que olhar para as restrições de .
Depois, para acharmos a derivada de , temos que ver se a função é contínua. Se for, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 para calcularmos a derivada.
Passo 2
Achando o domínio de :
Como no limite superior de integração aparece , temos que a única restrição é . Portanto, o domínio de é o intervalo .
Passo 3
Achando a derivada de :
Como não possui nenhuma restrição, é contínua e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 para todo (domínio da função )
Nota-se que NÃO podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 direto, já que onde deveria estar , está .
Para corrigirmos esse problema, iremos fazer uma substituição:
Então:
Iremos usar a Regra da Cadeia para derivar .
Relembrando a Regra da Cadeia:
Logo:
Passo 4
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 para acharmos .
Para calcular o outro fator:
Logo:
Resposta
Domínio: