Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.

e) h ( t ) = ∫ c o s ⁡ ( t ) 1 c o s ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos conversar um pouco o Teorema Fundamental do Cálculo.

Caso a integral tenha o formato ∫ c x f ( t ) d t = g x temos:

g x ’ = f x

E, se tiver a forma ∫ c p ( x ) f ( t ) d t = h x = g ( p ( x ) ) é só desenvolvermos pela regra da cadeia:

h x ' = g p x ' =   g ' p x p x '  

E sabemos que g ’ é f ( x )

h x ' = g ' p x p x '   = f ( p ( x ) ) p ( x ) '

Passo 2

Agora é só aplicar no nosso exercício:

h t = ∫ cos ⁡ t 1 cos ⁡ x d x = ∫ 1 c o s ⁡ ( t ) - cos ⁡ x d x

p t = cos ⁡ t   ;     p t ' = - s e n ⁡ ( t )  

f p t =   - c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( t ) )

h t ' = [ - c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( t ) ) ] × - s e n ⁡ t = s e n ( t ) c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( t ) )

Simples assim 😉

Resposta

e) h t ' = s e n ( t ) c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( t ) )

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