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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.1, Questão 6

Seja f uma função contínua tal que:

∫ - 4 x 2 - 4 x + 4   f ( t ) d t   =   54 x   +   12 x 2   +   6 ∫ x 11   e t 2 - 9 t + 20 f ( t ) d t . .

O valor de f ( 4 ) é:

  1. 16
  2. 14
  3. 17
  4. 15
  5. 13

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do teorema fundamental do cálculo!!! Lembram dele?

Ele diz que se

F ( x ) = ∫ a x f ( u ) d u

F ' ( x ) = f ( x )

Lembraram? Boa!

Além disso, podemos combinar esse teorema com a regra da cadeia, chegando na seguinte conclusão

F ( x ) = ∫ a g ( x ) f ( u ) d u

F ' ( x ) = f ( g ( x ) ) * g ' ( x )

Show? Então bora pra questão.

Sabendo que

∫ - 4 x 2 - 4 x + 4   f ( t ) d t   =   54 x   +   12 x 2   +   6 ∫ x 11   e t 2 - 9 t + 20 f ( t ) d t

Queremos o valor de f ( 4 )

Como começamos? Ora, vamos derivar dos dois lados para sumir com essa integral. Então temos:

d d x ∫ - 4 x 2 - 4 x + 4   f ( t ) d t   = d d x   54 x   +   12 x 2   +   6 ∫ x 11   e t 2 - 9 t + 20 f ( t ) d t

Usando O teorema fundamental do cálculo, temos:

⇒   f ( x 2 - 4 x + 4 ) * ( 2 x - 4 )   =   54   +   24 x   -   6   e x 2 - 9 x + 20 f ( x )

E agora o que fazemos? Ora como queremos saber f ( 4 ) , vamos tomar x = 4 . Fazendo isso, a equação acima fica:

f ( 4 2 - 4 * 4 + 4 ) * ( 2 * 4 - 4 )   =   54   +   24 * 4   -   6   e 4 2 - 9 * 4 + 20 f ( 4 )

⇒ f ( 4 ) * ( 4 )   =   54   +   96   -   6   e 0 f ( 4 )

Isolando f ( 4 )

⇒ f ( 4 ) * ( 4 )     + 6 f ( 4 ) +   =   150

⇒ f ( 4 ) =   15

Valor este presente na alternativa d )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

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