Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas horizontais e verticais.

f(x) = 2 * x^2 / raiz(x^2 - 16)

Passo 1

Primeiro passo é a gente entender como calculamos uma assíntota vertical e uma horizontal.

De forma bem sucinta e prática:

Assíntota horizontal: Fazemos x → ∞ + e x → ∞ - e se lim x → ∞ ± ⁡ f x = c , onde c é uma constante, temos uma assíntota horizontal. Lembrando que podemos ter valores de constantes dependendo se estamos fazendo x → ∞ + e x → ∞ - , logo teríamos 2 assíntotas horizontais nesses dois valores diferentes de constantes.

Assíntota vertical: Precisamos encontrar um valor de x que faça o denominador tender a zero, se a f x = ± ∞ , temos então uma assíntota vertical no valor que fizemos x tender.

Então, bora pro rolo!

Passo 2

Pra gente encontrar a assíntota horizontal, vamos aplicar nosso limite!

lim x → ∞ + ⁡ 2 x 2 x 2 - 16 = ∞ ∞

Eita lasqueira, deu ruim! Vamos ter que fazer um ajuste, vulga mágica haha

E nesse caso vamos ter que colocar em evidência o polinômio de maior potência que se encontra no numerador e no denominador.

f x = 2 x 2 x 2 - 16 = 2 x 2 x 2 1 - 16 x 2 = 2 x 1 - 16 x 2

Agora a gente vai aplicar nosso limite!!!

lim x → ∞ + ⁡ 2 x 1 - 16 x 2 = ∞ 1 - 0   = ∞

lim x → ∞ - ⁡ 2 x 1 - 16 x 2 = ∞

Opa, não temos assíntota horizontal.

Passo 3

Agora verificando a assíntota vertical, lembrado sempre que nossa função deve tender a infinito para que haja uma assíntota vertical. E quando temos um polinômio no denominador, precisamos encontra a raiz, afinal, se a gente zerar aquele denominador ali dentro da raiz quadrada, vamos fazer nossa f ( x ) tender a infinito.

x 2 - 16 = 0

x = ± 4

lim x → 4 + ⁡ 2 x 1 - 16 x 2 = 8 d e n o m i n a d o r → 0 = ∞

lim x → 4 - ⁡ 2 x 1 - 16 x 2 = 8 d e n o m i n a d o r → 0 = ∞

lim x → - 4 + ⁡ 2 x 1 - 16 x 2 = 8 d e n o m i n a d o r → 0 = ∞

lim x → - 4 - ⁡ 2 x 1 - 16 x 2 = 8 d e n o m i n a d o r → 0 = ∞

Logo, temos que em x = 4 e x = - 4 , teremos assíntotas verticais.

Resposta

Não há assíntota horizontal.

Assíntota vertical: x = ±   4

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