Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.

f(x) = (2 * x^2) / (x^2 + 1)

Passo 1

Oi meus lindos, bora pra mais uma?

Para calcular as assíntotas horizontais e verticais da função

f x = 2 x 2 x 2 + 1

Podemos analisar o comportamento da função à medida que x   se aproxima de valores grandes (positivos ou negativos) e à medida que x   se aproxima de pontos onde o denominador se torna zero.

Passo 2

A s s í n t o t a s   H o r i z o n t a i s :

Uma assíntota horizontal ocorre quando o valor da função se aproxima de um certo valor à medida que x se torna muito grande em valor absoluto.

Vamos verificar como a função se comporta para valores grandes de x :

f x = 2 x 2 x 2 + 1

Quando x   é muito grande, os termos x 2 dominam a expressão. Isso significa que podemos aproximar a função para:

f x ≈ 2 x 2 x 2 = 2

Portanto, à medida que x se aproxima de infinito, a função f ( x ) se aproxima de 2.

Não há uma assíntota horizontal real neste caso, mas a função se aproxima de y = 2 à medida que x se torna grande.

Passo 3

A s s í n t o t a s   V e r t i c a i s :

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se torna zero.

Vamos encontrar os valores de x que fazem o denominador igual a zero:

x 2 + 1 = 0

Isso não tem solução real para x , pois x 2 é sempre positivo ou zero, e somar 1 não o tornará zero.

Portanto, a função

f x = 2 x 2 x 2 + 1

não tem assíntotas verticais reais.

Em resumo:

- Não há assíntotas horizontais reais, mas a função se aproxima de y = 2 para valores grandes de x

- Não há assíntotas verticais reais, pois o denominador nunca se torna zero para valores reais de x

Lembre-se de que, em algumas situações, é necessário verificar o comportamento da função em pontos críticos, mas para essa função específica, não há pontos críticos relevantes para determinar assíntotas.

Resposta

y = 2

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