UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.7
Calcule as assíntotas verticais e horizontais de
Passo 1
Faaaaaala pessoal, todo mundo animado pra matar mais uma questão?
Então, aqui temos uma fun��ão dada por:
Daí, precisamos calcular as assíntotas verticais e horizontais de .
Pra determinar as assíntotas horizontais de uma função, precisamos calcular os seus limites quando . Ou seja:
Já pra determinar as assíntotas verticais, precisamos verificar se há algum ponto que nossa função explode pro infinito. Ou seja, algum ponto que é restrição no domínio de porque o denominador zera.
Tranquilo até aqui? Então vamo nessa!
Passo 2
Vamos começar calculando as assíntotas horizontais.
Quando , temos:
Bom, se substituirmos o valor que está tendendo na nossa função, teremos que tanto o numerador como o denominador tendem a . Então, ficaríamos com uma indeterminação do tipo:
Daí, vamos aproveitar que temos um polinômio no numerador e no denominador, e colocar o maior expoente de em evidência. Se liga só:
Daí, substituindo no limite, teremos:
Agora, quando fazemos , os termos com no denominador irão zerar. E vamos ficar com:
Opaaa! Então, quando , a nossa tende a . Logo, temos uma assíntota horizontal em .
Já quando , temos:
Novamente, se substituíssemos , teríamos uma indeterminação do tipo . Portanto, colocando a maior potência de em evidência, temos:
Excelente! Quando , temos também uma assíntota horizontal em .
Muito bom! Vamos para as assíntotas verticais.
Passo 3
Aqui precisamos analisar se há algum ponto para o qual nossa função tende a infinito.
Para isso, vamos analisar a nossa expressão de :
Pra essa função tender a infinito, o denominador precisa zerar. Assim:
Portanto, se temos que nossa , e temos, portanto, assíntotas verticais nesses pontos.
É isso galera! Conseguiram entender direitinho?
Responde Aí!
Resposta
Assíntotas horizontais:
Assíntotas verticais: