Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de

Começando pelas assíntotas horizontais, vamos calcular o limite de quando .

Como sempre, o primeiro passo é substituir o valor que está tendendo dentro da função. Se fizermos isso, teremos duas frações em que os denominadores tendem pra o infinito e o numerador é uma constante. Daí, separando os limites, vamos ter algo do tipo:

Isso é indeterminado, pois não fazemos operações matemáticas com o .

Vamos então buscar somar essas frações, e para isso vamos decompor esses polinômios do denominador:

Logo:

Substituindo no limite, temos:

Daí, colocando em evidência no denominador, e em evidência no numerador, ficamos com:

Daí, quando , os termos com no denominador vão zerar, e teremos:

Portanto, quando , temos uma assíntota horizontal em .

Já quando , temos:

Podemos substituir pela mesma expressão final que desenvolvemos pro limite de , daí:

Substituindo, novamente todos os termos com no denominador vão zerar, e chegamos que:

Portanto, quando temos uma assíntota horizontal em .

Perfeito pessoal! Já matamos as assíntotas horizontais! Vamos agora analisar as verticais!

Queremos calcular as assíntotas verticais de:

Como falamos no passo , a ideia principal é analisarmos as restrições matemáticas pra essa função. E, como é a subtração de frações, ocorrem quando o denominador zera.

Primeiro, como vimos no passo anterior, podemos reescrever essa subtração em uma única fração:

Daí, se:

Vamos ter que o denominador zera e a função explode pra .

Sendo assim, podemos afirmar que existem assíntotas verticais em e .

Obaaaa!! Terminamos galera!

Curtiram a solução? Responde Aí! 😉