Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de

f(x) = 1 / (x - 4) - 1 / (x^2 - 5x + 4)

Passo 1

OLÁ OLÁ OLÁ!!!! Todo mundo animadoooooo? Vamo matar mais uma questãoo 😊

Aqui recebemos uma função f dada por:

f x = 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

E, precisamos calcular, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais de f .

Pra determinar as assíntotas horizontais de uma função, precisamos calcular os seus limites quando x → ± ∞ . Ou seja:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) lim x → ∞ ⁡ f ( x )

Já pra determinar as assíntotas verticais, precisamos verificar se há algum ponto que nossa função explode pro infinito. Ou seja, no caso de f ( x ) , algum ponto que é restrição no domínio de f porque o denominador zera.

Tranquilo até aqui? Então vamo nessa!

Passo 2

Começando pelas assíntotas horizontais, vamos calcular o limite de f quando x → + ∞ .

lim x → ∞ ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Como sempre, o primeiro passo é substituir o valor que x está tendendo dentro da função. Se fizermos isso, teremos duas frações em que os denominadores tendem pra o infinito e o numerador é uma constante. Daí, separando os limites, vamos ter algo do tipo:

lim x → ∞ ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = ∞ - ∞

Isso é indeterminado, pois não fazemos operações matemáticas com o .

Vamos então buscar somar essas frações, e para isso vamos decompor esses polinômios do denominador:

x 2 - 5 x + 4 = ( x - 4 ) ( x - 1 )

Logo:

1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 1 x - 4 - 1 ( x - 4 ) ( x - 1 )

= x - 2 x - 4 x - 1

= x - 2 x 2 - 5 x + 4

Substituindo no limite, temos:

lim x → ∞ ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = lim x → ∞ ⁡ x - 2 x 2 - 5 x + 4

Daí, colocando x 2 em evidência no denominador, e x em evidência no numerador, ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ x - 2 x 2 - 5 x + 4 = lim x → ∞ ⁡ 1 x ⋅ 1 - 2 x 1 - 5 x + 4 x 2

Daí, quando x → ∞ , os termos com x no denominador vão zerar, e teremos:

lim x → ∞ ⁡ 1 x ⋅ 1 - 2 x 1 - 5 x + 4 x 2 = 0 ⋅ 1 - 0 1 - 0 + 0 = 0

Portanto, quando x → ∞ , temos uma assíntota horizontal em f x = 0 .

Já quando x →   - ∞ , temos:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Podemos substituir pela mesma expressão final que desenvolvemos pro limite de x → + ∞ , daí:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x ⋅ 1 - 2 x 1 - 5 x + 4 x 2

Substituindo, novamente todos os termos com x no denominador vão zerar, e chegamos que:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 0

Portanto, quando x → - ∞ , temos uma assíntota horizontal em f x = 0 .

Perfeito pessoal! Já matamos as assíntotas horizontais! Vamos agora analisar as verticais!

Passo 3

Queremos calcular as assíntotas verticais de:

f x = 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Como falamos no passo 1 , a ideia principal é analisarmos as restrições matemáticas pra essa função. E, como f ( x ) é a subtração de frações, ocorrem quando o denominador zera.

Primeiro, como vimos no passo anterior, podemos reescrever essa subtração em uma única fração:

1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = x - 2 x - 4 x - 1  

Daí, se:

x = 4 x = 1

Vamos ter que o denominador zera e a função explode pra ± ∞ .

Sendo assim, podemos afirmar que existem assíntotas verticais em x = 1 e x = 4 .

Obaaaa!! Terminamos galera!

Curtiram a solução? Responde Aí! 😉

Resposta

Assíntotas horizontais: f x = 0 para x → ± ∞ .

Assíntotas verticais: x = 1 e x = 4 .

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