13) Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

f x = 2 x x 2 + 4  

Passo 1

Falaa galeraa!

Bora relembrar rapidinho como que encontramos as assíntotas horizontais e verticais sem precisar desenhar o gráfico.

Assíntota Horizontal: Basicamente precisamos calcular dois limites:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) e lim x →   + ∞ ⁡ f x

Se um desses limites assumir valor finito, então esse valor representa uma assíntota horizontal. Bem simples né?

Assíntota Vertical: Aqui precisamos analisar a nossa função f e procurar algum valor de x que possa causar indeterminação matemática. Na maioria dos casos, vamos procurar pontos onde a função está “dividindo por zero” na sua lei de formação.

Show, agora que já entendemos o que a questão está pedindo e como calcular isso, vamo meter bronca.

Passo 2

Bora primeiro calcular as assíntotas horizontais. Então:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x x 2 + 4 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x | x | 1 + 4 x 2 =   - 2  

Opaa, já temos então nossa primeira assíntota: y =   - 2 .

Vamos para o próximo:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x x 2 + 4 =   lim x → + ∞ ⁡ 2 x | x | 1 + 4 x 2 = 2

Massaa! Encontramos outra assíntota horizontal: y = 2 .

Passo 3

Próximo passo é ir em busca das assíntotas verticais.

Nosso f ( x ) é definido por um quociente, então vamos ver se existe algum valor de x ∈ R para o qual o denominador desse quociente se torna nulo:

x 2 + 4 = 0 ⇔ x 2 + 4 = 0 ⇔ x 2 =   - 4 ⇔ x =   ± 2 i ∉ R      

Ou seja, os únicos valores que zeram o denominador (e poderiam nos trazer uma assíntota vertical), na realidade não pertencem nem aos Reais. Logo, f não possui assíntotas verticais.

Resposta

Assíntotas Horizontais: y =   - 2 , y = 2 .

Assíntotas Verticais: Não Há.

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