Encontre, se existir, as assíntotas verticais e horizontais.

f(x) = (x - 3) / (2 - x)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Vamos começar calculando as assíntotas horizontais. Para isso, temos que calcular o seguinte limite:

lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = K

Aonde K tem que ser um valor finito, ou seja, não pode explodir pro infinito.

f x = ( x - 3 ) ( 2 - x )

Começando com x → + ∞

lim x → + ∞ ⁡ ( x - 3 ) ( 2 - x ) = lim x → + ∞ ⁡ x x ( 1 - 3 x ) - 1 + 2 x = lim x → + ∞ ⁡ ( 1 - 3 x ) - 1 + 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 = - 1

Agora para x → - ∞

lim x → - ∞ ⁡ ( x - 3 ) ( 2 - x ) = lim x → - ∞ ⁡ x x ( 1 - 3 x ) - 1 + 2 x = lim x → - ∞ ⁡ ( 1 - 3 x ) - 1 + 2 x = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 1 = - 1

Ou seja, descobrimos aqui que y = - 1 é uma assíntota horizontal.

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular a assíntota vertical. Para isso, precisamos primeiro achar o domínio da nossa função.

f x = ( x - 3 ) ( 2 - x )

Como temos uma divisão de polinômios, a única restrição que temos aqui é que não podemos ter algo sendo divido por zero, então:

2 - x ≠ 0

x ≠ 2

Show, achamos a nossa restrição do domínio. Agora, para calcular a assíntota vertical, precisamos calcular os limites laterais da nossa função em torno do ponto que achamos

lim x → 2 + ⁡ ( x - 3 ) ( 2 - x ) = lim x → 2 + ⁡ ( 2 + - 3 ) ( 2 - 2 + ) = lim x → 2 + ⁡ ( - 1 + ) ( 0 - ) = + ∞

lim x → 2 - ⁡ ( x - 3 ) ( 2 - x ) = lim x → 2 + ⁡ ( 2 - - 3 ) ( 2 - 2 - ) = lim x → 2 + ⁡ ( - 1 + ) ( 0 + ) = - ∞

Ok, e agora? Bom, se o resultado dos nossos limites laterais explodirem pro infinito, isso significa que aquele ponto é uma assíntota vertical da nossa função.

x = 2

Resposta

A . H . → y = - 1

A . V . → x = 2

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