Encontre, se existir, as assíntotas verticais e horizontais.

f(x) = 1 / x - 1 / (x - 1)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Vamos começar calculando as assíntotas horizontais. Para isso, temos que calcular o seguinte limite:

lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = K

Aonde K tem que ser um valor finito, ou seja, não pode explodir pro infinito.

f x = 1 x - 1 x - 1 = - 1 x 2 - x

Começando com x → + ∞

lim x → + ∞ ⁡ 1 x - 1 x - 1 = 0

Agora para x → - ���

lim x → + ∞ ⁡ 1 x - 1 x - 1 = 0

Opa, os nossos resultados não explodiram pro infinito, então a nossa função não tem Assíntota Horizontal

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular a assíntota vertical. Para isso, precisamos primeiro achar o domínio da nossa função.

f x = 1 x - 1 x - 1

Como temos uma divisão de polinômios, única restrição que temos aqui é que não podemos dividir nada por zero, então:

x ≠ 0

x - 1 ≠ 0 → x ≠ 1

Show, achamos a nossa restrição do domínio. Agora, para calcular a assíntota vertical, precisamos calcular os limites laterais da nossa função em torno do ponto que achamos

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 1 + - 1 1 + - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - - 1 0 + = - ∞

lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ 1 1 - - 1 1 - - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 + - 1 0 - = - ∞

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x - 1 = lim x → 0 + ⁡ 1 0 + - 1 0 + - 1 = + ∞

lim x → 0 - ⁡ 1 x - 1 x - 1 = lim x → 0 - ⁡ 1 0 - - 1 0 + - 1 = - ∞

Ok, e agora? Bom, se os resultados dos nossos limites laterais explodiram pro infinito, isso significa que aquele ponto é uma assíntota vertical da nossa função.

Resposta

A . H → N ã o   t e m

A . V → x = 0   e   x = 1

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