Estude as assíntotas de f(x) = e^x / (e^x - 1) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as assíntotas da função f x = e x e x - 1 . Pra isso, a gente precisa lembrar que para encontrar assíntotas horizontais precisamos calcular dois limites:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = b

lim x → - ∞ ⁡ f x = b

Onde b ∈ R . Eles não precisam ser iguais, mas se qualquer um desses limites resultar em um valor finito, ou seja, não explodirem para mais ou menos infinito, teremos uma assíntota horizontal.

E pra verificar se a função tem assíntotas verticais, precisamos olhar para os valores que não estão definidos no domínio da função. No nosso caso, para x = 0 , teríamos f 0 = e 0 e 0 - 1 = 1 0 , ou seja, uma indeterminação. Dessa forma, nós calculamos os limites laterais nesse ponto:

lim x → 0 + ⁡ f x

lim x → 0 - ⁡ f ( x )

Se eles explodirem para mais ou menos infinitos, teremos assíntotas verticais nesse ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando as assíntoas horizontais da função, calculando o limite:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ e x e x - 1

Dividindo todo mundo por e x , temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 1 e x

Quando x → + ∞ , 1 e x tende a zero. Logo, temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 - 1 e x = 1 1 - 0 = 1

Agora para x → - ∞ , temos:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ e x e x - 1

Dessa forma, quando x tende a um número negativo infinitamente grande, vamos ter um expoente negativo em e que vai fazer ela se aproximar cada vez mais de zero. Assim, temos:

lim x → - ∞ ⁡ e x e x - 1 = 0 0 - 1 = 0

Portanto, temos assíntotas horizontais em y = 1 e em y = 0 .

Passo 3

Agora verificando a existência de assíntotas verticais, vamos calcular:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x e x - 1

Dividindo todo mundo por e x , temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 1 - 1 e x

Para x se aproximando de 0 pela direita, x > 0 e temos um denominador positivo que se aproxima de zero, 1 - 1 e x > 0 . Dessa forma,

lim x → 0 + ⁡ 1 1 - 1 e x = + ∞

Agora para o limite lateral pela esquerda, temos:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ e x e x - 1

= lim x → 0 - ⁡ 1 1 - 1 e x

Para x se aproximando de 0 pela esquerda, x < 0 e temos um denominador negativo que se aproxima de zero, 1 - 1 e x < 0 . Dessa forma,

lim x → 0 - ⁡ 1 1 - 1 e x = - ∞

Como os limites laterais para x → 0 explodem para infinito, temos uma assíntota vertical em x = 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A s s í n t o t a   v e r t i c a l → x = 0

A s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s → y = 1   e   y = 0

Exercícios de Livros Relacionados