Estude as assíntotas de g(x) = (x^2 - 5x) / (x^2 - 6x + 5) e esboce seu gráfico.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as assíntotas da função g x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5 e esboçar seu gráfico. Pra isso, a gente precisa lembrar que para encontrar assíntotas horizontais precisamos calcular dois limites:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = b

lim x → - ∞ ⁡ f x = b

Onde b ∈ R . Eles não precisam ser iguais, mas se qualquer um desses limites resultar em um valor finito, ou seja, não explodirem para mais ou menos infinito, teremos uma assíntota horizontal.

E pra verificar se a função tem assíntotas verticais, precisamos olhar para os valores que não estão definidos no domínio da função. No nosso caso, para x = 1 , teríamos f 1 = ( 1 ) 2 - 5 ( 1 ) ( 1 ) 2 - 6 ( 1 ) + 5 = - 4 0 , ou seja, uma indeterminação. Dessa forma, nós calculamos os limites laterais nesse ponto:

lim x → 1 + ⁡ f x

lim x → 1 - ⁡ f ( x )

Se eles explodirem para mais ou menos infinitos, teremos assíntotas verticais nesse ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando as assíntoas horizontais da função, calculando o limite:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Dividindo todo mundo por x 2 , temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 5 x 1 - 6 x + 5 x 2

Quando x → + ∞ , as frações com x no denominador tendem a zero. Logo, temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 5 x 1 - 6 x + 5 x 2 = 1 - 0 1 - 0 + 0 = 1

Agora para x → - ∞ , temos da mesma forma:

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

= lim x → - ∞ ⁡ 1 - 5 x 1 - 6 x + 5 x 2 = 1

Portanto, temos uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 3

Agora verificando a existência de assíntotas verticais, vamos calcular:

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Para x se aproximando de 1 pela direita, x > 1 e temos um denominador positivo que se aproxima de zero, x 2 - 6 x + 5 → 0 . Dessa forma,

lim x → 1 + ⁡ x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5 = + ∞

Agora para o limite lateral pela esquerda, temos:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Para x se aproximando de 0 pela esquerda, x < 1 e temos um denominador negativo que se aproxima de zero, x 2 - 6 x + 5 → 0 . Dessa forma,

lim x → 1 - ⁡ x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5 = - ∞

Como os limites laterais para x → 1 explodem para infinito, temos uma assíntota vertical em x = 1 .

Esboçando o gráfico da função, temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A s s í n t o t a   v e r t i c a l → x = 1

A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l → y = 1  

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