O governo estima que o custo, em milhares de reais, para despoluir x % de uma reserva de água doce é dado pela função

C x = 200 x 100 - x

  1. Determine a assíntota do gráfico de C , usando a definição de assíntota. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pede para determinarmos a assíntota da do gráfico de C x abaixo:

C x = 200 x 100 - x

Bom... Uma assíntota é uma linha reta que a função se aproxima infinitamente, mas nunca cruza.

Para encontrar as assíntotas da função C ( x ) , precisamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima dos seus valores limites.

E aí? Bora lá colocar isso em prática??

😉

Passo 2

Nesse sentido, primeiro, devemos verificar se existem valores de x que tornam o denominador igual a zero, pois nesses casos a função teria uma descontinuidade (uma assíntota vertical).

Vamos resolver a equação ( 100   -   x )   =   0 para encontrar esses valores:

100   -   x =   0 ∴

x = 100

Portanto, x   =   100 é uma assíntota vertical, já que o denominador se torna zero nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando x tende a infinito positivo ou negativo.

Para isso, tomamos o limite da função à medida que x se aproxima de infinito:

lim x → ∞ ⁡ C x = lim x → ∞ ⁡ 200 x 100 - x

Quando x tende a infinito, o termo 100   -   x se torna insignificante em comparação com x , pois x cresce muito mais rapidamente.

Portanto, podemos considerar que o termo ( 100   -   x ) é aproximadamente igual a - x :

lim x → ∞ ⁡ C x = lim x → ∞ ⁡ 200 x - x ∴

lim x → ∞ ⁡ C x = lim x → ∞ ⁡ - 200 ∴

lim x → ∞ ⁡ C x = - 200

Assim, a assíntota horizontal é y   =   - 200 .

Portanto, o gráfico de C ( x ) se aproximará infinitamente da linha y   =   - 200 , mas nunca a cruzará.

Passo 4

Nesse sentido, com base nas informações anteriores, temos o seguinte gráfico de C x com as assíntotas destacadas em vermelho e azul:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Assíntota vertical em x = 100

Assíntota horizontal em y = - 200

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0