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Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P2 - 2015.2, Questão 2a

Questão: Considere a função f ( x ) = x [ l n ⁡ ( x ) ] 2

(a) Faça o estudo completo do comportamento desta função, ou seja, estude o comportamento assintótico, crescimento e decrescimento, concavidade, etc.

Passo 1

Vamos fazer um estudo completo do comportamento da função f ( x ) = x [ l n ⁡ ( x ) ] 2 .

Domínio:A função está definida para x > 0 , pois o termo l n ⁡ ( x ) não está definido para valores não positivos.

Assíntotas:Não há assíntotas verticais porque a função está definida para todo x > 0 . Vamos analisar a assíntota horizontal.

Assíntota Horizontal:Vamos verificar o comportamento da função quando x tende ao infinito: l i m x → ∞   x [ l n ⁡ ( x ) ] 2 = ∞

Portanto, não há assíntota horizontal.

Passo 2

Derivada:Vamos calcular a derivada da função f ( x ) :

f ( x ) = x [ l n ⁡ ( x ) ] 2

f ' ( x ) = [ l n ⁡ ( x ) ] 2 + 2 x l n ⁡ ( x ) ⋅ 1 x = [ l n ⁡ ( x ) ] 2 + 2 l n ⁡ ( x )

f ' ( x ) = l n ⁡ ( x ) ( [ l n ⁡ ( x ) ] + 2 )

Pontos Críticos:Os pontos críticos ocorrem onde f ' ( x ) = 0 . Isso ocorre quando l n ⁡ ( x ) = 0 ou [ l n ⁡ ( x ) ] + 2 = 0 .Resolvendo essas equações, encontramos que x = 1 é um ponto crítico

Passo 3

Análise de Sinais e Intervalos de Crescimento/Decrescimento:Vamos analisar os intervalos determinados pelo ponto crítico x = 1 e pelo domínio x > 0 .

Para x > 1 :

  • f ' ( x ) > 0 (pois l n ⁡ ( x ) é positivo e crescente em x > 1 )
  • Portanto, a função é crescente nesse intervalo.

    • Para 0 < x < 1 :

  • f ' ( x ) < 0 (pois l n ⁡ ( x ) é negativo e decrescente em 0 < x < 1 )
  • Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Segunda Derivada e Concavidade:A segunda derivada de f(x) é f ’ ’   x = 2 + 2   l n   x x  

A segunda derivada f’’ (x) é positiva para x>e o que indica concavidade para cima em (e,+∞). Não existe concavidade para baixo em nenhum ponto do domínio, pois f’’ (x) nunca se torna negativa.

A função não possui pontos de inflexão, uma vez que não há mudança na concavidade.

Resposta

Domínio: D=(0,+∞)

Assíntotas horizontais: Não há.

Assíntotas verticais: Não há.

Limites: l i m x → ∞   f ( x ) =   + ∞ ;   l i m x → 0 +   f ( x ) =   0

⁡Crescimento e Decrescimento: Crescente em (e,+∞), decrescente em (0,e).

Concavidade: Concavidade para cima em (e,+∞).

Pontos de Inflexão: Não há.

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