Seja f(x) = x * e^x

(c) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar a existência de assíntotas horizontais e verticais na função. Para isso, a gente precisa lembrar que para encontrar assíntotas horizontais, vamos calcular os limites da nossa função com x tendendo a mais e menos infinito:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = b

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R . Assim, se um ou dois limites resultarem em um valor finito b , ou seja, não explodirem para mais ou menos infinito, teremos uma assíntota horizontal em y = b .

Agora para encontrar possíveis assíntotas verticais, nós temos que achar valores de x que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela. Então, fazer os limites laterais da função com x tendendo aos valores problemáticos. Assim, se um desses limites laterais explodirem para mais ou menos infinito, quer dizer que temos uma assíntota vertical.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite função f x = x e x quando x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ x e x

lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ e x = ∞ ∙ ∞

= ∞

Agora, vamos calcular o limite da função f x = x e x quando x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x e x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 e x

Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - e - x = 0

Então, em y = 0 temos uma assíntota horizontal.

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha de novo na nossa função f x = x e x e pensar nos valores que x não pode assumir.

Não achou, né? É porque não tem mesmo rs. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida. E como as assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita, podemos dizer que essa função não tem assíntotas verticais.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l → y = 0

N ã o   p o s s u i   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s

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