UNICAMP – Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 6.22b
Seja
b) Encontre a assíntota horizontal de quando . Existe assíntota vertical em algum ponto?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa função definida por partes
E pediu para encontrar a assíntota horizontal e para dizer se existe uma assíntota vertical. Você lembra como encontrar essas assíntotas?
- Uma assíntota horizontal é encontrada fazendo o limite da função . Se acharmos um número, por exemplo , então temos uma assíntota de equação
- Já a assíntota vertical é onde calculamos o limite em torno de um ponto específico . Caso encontrarmos , então temos uma assíntota vertical de equação . (normalmente achamos onde o denominador é zero – pontos de descontinuidade da função)
beleza? A ideia então é aplicar esses conceitos e encontrar o que se pede!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Calculando o limite
Vamos dividir todos os termos pelo maior expoente
Beleza?
Encontramos um número como resultado do limite, isso significa que temos uma assíntota horizontal de equação
Passo 3
Nossa função é
A parte do cosseno é sempre contínua, então ali não temos possibilidade de encontrar assíntota vertical. Já na outra parte sim
Encontramos uma assíntota vertical achando onde o denominador é zero
Mas se você for tentar encontrar onde é esse ponto, vai ter muito trabalho! E nem é pedido! Então, como mostrar que temos uma raiz aí?
Pelo teorema do valor intermediário! Se encontrarmos duas imagens nas quais o está entre esses valores, então sabemos que nesse intervalo de valores testados temos uma raiz. Não sabemos exatamente qual é ela, mas esse teorema garante que ela existe!
Assim em
E em
Olhando as imagens
Percebemos que o está nesse intervalo! Então existe um tal que
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!