1) Seja a função definida pela expressão:
Onde é um número positivo.
- Determine as assíntotas horizontais do gráfico de , caso elas existam
- Determine os valores de que tornam contínua no ponto
Passo 1
Bora lá começar então! A questão quer primeiro da gente as assíntotas horizontais. Pois bem, pra achar as assíntotas os limites:
Tem que ser iguais a um número! Então vamos ver se tende a algum número. Começando com , a lei de formação que vai estar valendo será:
E logo:
E pra , usamos a outra lei de formação, beleza?
Veja bem, o limite de arco tangente quando tende ao infinito é o arco cuja tangente tem tamanho infinito. Oras, e que arco é se esse se não (ou em radianos, )! Vamos ter então:
E é isso aí, os dois limites deram um número. Essa função tem então duas assíntotas horizontais:
Passo 2
Ok, a função tem assíntotas. Mas será que essa função é contínua? Pra gente checar e partir pro abraço vamos ter que provar a continuidade dessa função. E bem, pra toda função contínua, vamos ter:
Beleza então, vamos aplicar essa fórmula. Pra isso, precisamos escolher o . Como nossa é uma função definida por duas leis de formação, vamos analisar a continuidade de cada lei:
Essa lei de formação é sim contínua em todo . Sendo assim, escolher não vai nos ajudar. Agora:
E não é que essa lei de formação também é contínua no intervalo que ela tá valendo? Bem, então não rola também. Sobra só . Sendo assim, a igualdade fica:
Vamos calcular cada um dos três termos então
Passo 3
Veja bem, se a função é:
Então quando ,
Fazendo :
E fazendo o limite:
Como a primeira coisa que a gente faz em um limite é substituir pra ver no que dá, vamos ter:
Opa, de fato vamos ter:
Vai faltar só checar um limite!
Passo 4
Vamos agora fazer:
Primeira coisa pra fazer, sem falta, é substituir e ver o que acontece. Partiu então:
Opa peraí! Não rola com oresposta porque isso é uma indeterminação! Pra gente sumir com ela então, vamos usar L’Hospital, beleza? Então derivando em cima e em baixo:
Ajeitando esse limite:
E aplicando o limite:
Passo 5
Pra fechar e partir pro abraço, vamos juntar tudo o que vimos. Seja:
Chegamos a igualdade:
E com essas igualdades achamos as condições que fazem ser contínua viu! Só continuar manipulando a igualdade. Vamos ter:
Elevando os dois lados ao quadrado:
As soluções possíveis vão ser então:
O que é o mesmo que:
Agora que achamos os valores possíveis de , vamos ver se não tem nenhuma pegadinha. Bora olhar de novo pro :
Eita, da problema em! Se usarmos essa resposta geramos um denominador nulo na segunda lei de formação. Sendo assim, o único valor de que faz ser contínuo é: